Быстрый счёт. Тридцать простых приемов устного счета.

Умножение на однозначное число.

§ 1.

Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 X 8) выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20X8 = 160), затем единицы (7*8 =56) и оба результата складывают.

Еще примеры:

34*7=30*7+4*7=210+28=238.

17*6=40*6+7*6=240+42=282.

§ 2.

Полезно знать на память таблицу умножения до 19*9:

2 3 4 5 6 7 8 9
11 22 33 44 55 66 77 88 99
12 24 36 48 60 72 84 96 108
13 26 39 52 65 78 91 104 117
14 28 42 56 70 84 98 112 126
15 30 45 60 75 90 105 120 135
16 33 48 64 80 96 112 128 144
17 34 51 68 85 102 119 136 153
18 36 54 72 90 108 126 144 162
19 39 57 76 95 114 133 152 171

Зная эту таблицу, можно умножение например, 147*8 выполнить в уме так: 147*8-140*8+7*8= 1120 + 56= 1176.

§ 3.

Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например: 225*6=225*2*3=450*3=1350.

Умножение на двузначное число.

§ 4.

Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.

Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие, как указано в § 1. Например:

6*28=28*6=120+48=168.

§ 5.

Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:

29*12=29*10+29*2=290+58= 348.

41*16=41*10+41*6 = 410+246 =656.

(или 41*16=16*41 = 16*40+16*1=640+16=656.

Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.

§ 6.

Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2*7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. § 3). Например:

45*14 =90*7=630.

Умножение на 4 и на 8.

§ 7.

Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:

112*4 =224*2=448.

335*4 = 670*2 =1340.

§ 8.

Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:

217*8 = 434*4=868*2=1736.

(Еще удобнее: 217*8=200*8 +17*8= 1600*13=1736.

Деление на 4 и на 8.

§ 9.

Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:

76:4 =38:2=19.

236:4=118:2=59.

§ 10.

Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:

464:8=232:4=116:2=58.

516:8=258:4=129:2= 64 1/2.

Умножение на 5 и на 25.

§ 11.

Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10/2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:

74*5= 740:2= 370.

243*5=2430:2=1215.

При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:

74X5 = 74/2*10=370.

§ 12.

Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100/4 , т. е.—если число кратно 4-х —делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:

72*25=72/4*100= 1800.

Если же число при делении на 4 дает остаток, то прибавляют.

При остатке: к частному.

1 25.

2 50.

3 75.

Основание приема ясно из того, что.

100:4=25;

200:4=50;

300:4=75.

Умножение на 11/2, на 1 1/4, на 21/2, на 3/4.

§ 13.

Чтобы устно умножить число на 11/2 прибавляют к множимому его половину. Например:

34*11/2 = 34 + 17=51.

23*11/2=23 + 111/2 = 341/2 (или 34,5).

§ 14.

Чтобы устно умножить число на 11/4 Прибавляют к множимому его четверть. Например:

48*11/4 =48 +12=60.

58*11/4 = 58+14 1/2=721/2 или 72,5.

§ 15.

Чтобы устно умножить число на 21/2. к удвоенному числу прибавляют половину множимого.

Например: 18*21/2.=36+9= 45;

39*21/2.= 78 + 19'1/2.= 971/2 (или 97,5).

Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:

18*21/2 = 90:2 = 45.

§ 16.

Чтобы устно умножить число на 3/4 (т. е. чтобы найти 3/4 этого числа), умножают число на 11/2 и делит пополам. Например:

30 * 3/4 = (30+15)/2= 221/2 (или 22,5).

Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.

Умножение на 15, на 125, на 75.

§ 17.

Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 11/2, (потому что 10*11/2 =15) Например:

18*15=18*11/2*10=270.

45*15=450+225=675.

§ 18.

Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 11/4 (потому что 100*11/4=125). Например:

26*125 = 26*100*11/4 = 2600 + 650 = 3250.

47*125 = 47*100*11/4 = 4700+4700/4= 4700+1175 = 5875.

§ 19.

Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/4 (потому что 100*3/4=75). Например:

18*75= 18*100*3/4 =1800* 3/4 =(1800 + 900)/2=1350.

Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6.

18*15 = 90*3 = 270.

26*125 = 130*25 = 3250.

Умножение на 9 и на 11.

§ 20.

Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:

62*9=620-62=600—42=558.

73*9=730-73=700—43=657.

§ 21.

Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:

87*11=870+87=957.

Деление на 5, на 11/2,на 15.

§ 22.

Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числ-последнюю цифру. Например:

68:5=136:10=13,6.

237:5 =474:10=47,4.

§ 23.

Чтобы устно разделить число на 11/2 делят удвоенное число на 3. Например:

36:11/2=72:3=24.

53:11/2=106:3=351/3

§ 24.

Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например.

240:15=480:30=48:3=16.

462:15=924:30=3024/30=304/5=30,8 (или 924:30 =308:10=30,8).

Возвышение в квадрат.

§ 25.

Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8*9=72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:

252; 2*3=6; 625.

452; 4*5= 20; 2025.

1452; 14*15 = 210; 21025.

Прием этот вытекает из формулы (10х+5)2 = 100х2+100х+25=100х(х+1)+25.

§ 26.

Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:

8,52 = 72,25.

14,52=210,25.

0,352 = 0,1225f и т. п.

§ 27.

Так как 0,5= ½, а 0,25 = ¼, то приемом § 25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью ½:

(8½ )2 =72 ¼

(14½)2 = 210 ¼ и т п.

§ 28.

При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (a +-b)2 = a2 +b2+- 2ab.

Например: 412=402 +1+2*40= 1601+80= 1681.

692=702+1-2*70=4901-140=4761.

362 =(35+1)2=1225+1+ 2*35=1296.

Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.

Вычисления по формуле.

(а+b) (а-b) = а2 — b2

§ 29.

Пусть требуется выполнить устно умножение 52*48.

Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2)*(50—2).

И применяем приведенную в заголовке формулу:

(50+2)*(50—2)=502-22= 2496.

Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел:

69X71=(70—1)*(70+1)=4899.

33X27=(30+3)*(30—3)=891.

53X57=(55—2)*(55+2)=3021.

84X86=(85-1)*(85+1)=7224.

§ 30.

Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:

7 ½*6½=(7 + ½ )*(7 — ½)=48 ¾

11 3/4*12 1/4= (12 - 1/4)*(12 +1/4) =143 15/16

Полезно запомнить:

37*З =111.

Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.

37*6=37*3*2=222.

37*9=37*3*3=333.

37*12=37*3*4=444.

37*15=37*3*5 =555 и т. д,

7*11*13=1001.

Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77*13=1001.

77*26=2002.

77*39=3003 и т. д.

91*11=1001.

91*22=2002.

91*33=3003 и т. д.

143*7=1001.

143*14=2002.

143*21=3003 и т. д.

В нашей книжечке указаны только простейшие, наиболее удобоприменимые способы устного выполнения действий умножения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов, облегчающих вычислительную работу.