Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Головоломки. Выпуск первый.

Десять легких задач.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

1. Бочки.

В магазин доставили 6 бочек керосина. На рис. 1 обозначено, сколько ведер было в каждой бочке. В первый же день нашлось два покупателя; один купил целиком две бочки, другой – три, причем первый купил вдвое меньше керосина, чем второй. Так что не пришлось даже раскупоривать бочки.

Из 6 бочек на складе осталась всего одна. Которая?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 1. Бочки с керосином.

2. До половины.

Бочка заполнена водой примерно наполовину. Но вы хотите узнать, точно ли до половины в ней налито воды. У вас нет ни палки, ни какого-либо другого инструмента для замера содержимого бочки. Втулки бочка не имеет.

Каким образом можно узнать, ровно ли наполовину заполнена бочка?

3. Невозможное равенство.

Кстати, о полупустой бочке. Полупустая бочка – это ведь то же, что и полуполная. Но если половины равны, то должны быть равны и целые. Полупустая бочка равна полуполной – значит, пустая бочка должна равняться полной. Выходит, что пустой равен полному!

Почему получился такой несообразный вывод?

4. Число волос.

Как вы думаете: существуют ли на свете два человека с одинаковым числом волос? Вы можете ответить, что два совершенно лысых человека имеют волос поровну, потому что и у того, и у другого ноль волос. Это, если хотите, правильно.

Но я спрашиваю не о безволосых людях, а о таких, у которых на голове имеются густые волосы. Найдутся ли в мире два человека с совершенно одинаковым числом волос на голове? А может быть, двое таких людей отыщутся в Ленинграде или в Москве?

5. Цена переплета.

Книга в переплете стоит 2 руб. 50 коп. Книга на 2 руб. дороже переплета. Сколько стоит переплет?

6. Цена книги.

Иванов приобретает все нужные ему книги у знакомого ему книготорговца со скидкой 20 %. С 1 января цены всех книг повышены на 20 %. Иванов решил, что он будет теперь платить за книги столько, сколько остальные покупатели платили до 1 января.

Прав ли он?

7. Головы и ноги.

На лугу паслись лошади под присмотром пастухов. Если бы вы пожелали узнать, сколько всех ног на лугу, то насчитали бы 82 ноги. А если бы пересчитали головы, то оказалось бы, что всех голов – лошадиных и человеческих – 26.

Сколько на лугу лошадей и сколько пастухов? Надо заметить, что ни безногих лошадей, ни калек-пастухов на лугу не было.

8. На счетах.

Вы, без сомнения, умеете считать на конторских счетах и понимаете, что отложить на них 25 руб. – задача очень легкая (рис. 2).

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 2. На конторских счетах отложено 25 семью косточками.

Но задача станет замысловатее, если вам поставят условие: сделать это так, чтобы отодвинуть не 7 косточек, а 25.

Попробуйте, в самом деле, показать на конторских счетах сумму в 25 руб., отложив ровно 25 косточек. Конечно, на практике так никогда не делается, но задача все же разрешима, и ответ довольно любопытен.

9. Редкая монета.

Собирателю редкостей сообщили, что в Риме при раскопках найдена монета с надписью по-латыни:

53 год до P. X.

– Монета, конечно, поддельная, – ответил собиратель.

Как он узнал это, не видя ни самой монеты, ни даже ее изображения?

10. Спаржа.

Одна женщина обыкновенно покупала у зеленщика спаржу большими пучками, каждый 40 см в окружности. Покупая, она мерила их, чтобы убедиться, что ее не обманывают. Но однажды у торговца не оказалось 40-сантиметрового пучка, и он предложил покупательнице за те же деньги два тонких пучка, каждый по 20 см в обхвате.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 3. Как выгоднее покупать спаржу?

Женщина обмерила пучки и, убедившись, что обхват каждого действительно равен 20 см, заплатила зеленщику столько же, сколько платила раньше за один толстый пучок.

Она прогадала или выгадала на этой покупке?

Решения задач 1-10.

1. Первый покупатель купил 15-ведерную и 18-ведерную бочки. Второй – 16-ведерную, 19-ведерную и 31-ведерную.

В самом деле:

15 + 18 = 33,

16 + 19 + 31 = 66,

Т. е. второй покупатель приобрел вдвое больше керосина, чем первый.

Осталась непроданной 20-ведерная бочка. Это единственный возможный ответ. Другие сочетания не дают требуемого соотношения.

2. Самый простой способ – наклонить бочку так, чтобы вода дошла до края. Если при этом дно бочки немного обнажится, то значит, вода стояла ниже половины. Если дно окажется ниже уровня воды, значит, воды было налито больше, чем до половины. И наконец, если верхний край дна будет как раз на уровне воды, значит, бочка была наполнена ровно наполовину.

3. Полупустая бочка есть не половина пустой бочки, а такая бочка, одна половина которой пуста, а другая – полна. Мы же рассуждали так, как будто слово «полупустая» значит «половина пустой бочки», а слово «полуполная» – «половина полной». Не удивительно, что при таком неправильном понимании мы пришли к неправильному выводу.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый. Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый. Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 4. Сколько воды в бочке?

4. Прежде чем решать задачу, задайте себе вопрос: чего больше – людей на свете или волос на голове одного человека? Разумеется, людей на свете неизмеримо больше, чем волос на голове. У нас их всего 150 – 200 тысяч, людей же на свете 1800 миллионов. [1].

А если так, то непременно должны существовать люди с одинаковым числом волос! И не только во всем мире, но даже в каждом многолюдном городе, насчитывающем больше 200 тысяч жителей. В Москве 1 1/ 2миллиона жителей, и, значит, десятки москвичей должны иметь одинаковое число волос. Ведь не может же быть полтора миллиона различных целых чисел,среди которых ни одно не оказалось бы больше 200 000.

5. Обычно, не подумав, отвечают:

– Переплет стоит 50 коп.

Но ведь тогда книга стоила бы 2 руб., т. е. была всего на 1 руб. 50 коп. дороже переплета!

Верный ответ такой: цена переплета -25 коп., цена книги – 2 руб. 25 коп.

6. Иванов, как ни странно, и теперь будет платить меньше, чем остальные покупатели платили до 1 января. Он имеет 20 % – ю скидку с цены, увеличенной на 20 %; другими словами, скидку 20 % от 120 %, т. е. платить он будет за книгу не 100 %, а всего лишь 96 % прежней ее цены. Трехрублевую книгу приобретет не за 3 руб., а за 2 руб. 88 коп.

7. Если бы все 26 голов на лугу были бы человеческие, мы насчитали бы не 82 ноги, а только 52, т. е. на 30 ног меньше. От замены одного человека лошадью число всех ног увеличилось бы на 2. Значит, чтобы насчитать 82 ноги, надо произвести подобную замену.

15 раз, тогда и найдутся недостающие 30 ног.

Итак, из 26 голов 15 принадлежало лошадям, а остальные 11 – людям.

8. 25 рублей можно отложить на счетах 25 косточками так, как показано на рис. 5.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 5. На конторских счетах 25 отложено двадцатью пятью косточками.

В самом деле, здесь отложено 20 руб. + + 4 руб. + 90 коп. + 10 коп. = 25 руб. При этом использовано 2 + 4 + 9 +10 = 25 косточек.

9. Разве римляне, чеканя монету до P. X., могли знать, что через 53 года родится Христос?

10. Покупательница прогадала. Пучок с двойным обхватом заключает в себе не вдвое, а вчетверо больше спаржи, нежели тонкий (рис. 3).

Женщина должна была либо заплатить вдвое меньше, либо же потребовать не два, а четыре тонких пучка.

Десять задач потруднее.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

1. Сколько прямоугольников.

Сколько прямоугольников можете вы насчитать в этой фигуре (рис. 1)?

Не спешите с ответом. Обратите внимание на то, что спрашивается не о числе квадратов, а о числе прямоугольников – больших и малых, – какие только можно насчитать в этой фигуре.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 1. Квадрат, разделенный на квадраты.

2. Реомюр и Цельсий.

Вы знаете, конечно, разницу между термометрами Реомюра и Цельсия (рис. 2)? Всегда ли градусы на термометре Реомюра больше, чем градусы на термометре Цельсия?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 2. Термометры Реомюра и Цельсия.

3. Столяр и плотники.

Шесть плотников и столяр нанялись на работу. Плотники заработали по 20 руб., столяр же – на 3 руб. больше, чем заработал в среднем каждый из семерых.

Сколько заработал столяр?

4. Девять цифр.

Напишите по порядку девять цифр:

1 2 3 4 5 6 7 8 9.

Вы можете, не меняя расположение цифр, вставить между ними знаки плюс и минус таким образом, чтобы в сумме получилось ровно 100. Нетрудно, например, вставив + и – шесть раз, получить 100 таким путем:

12 + 3–4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100.

Если хотите вставить + и – только 4 раза, то тоже получите 100:

123 + 4 – 5 + 67 – 89 = 100.

Попробуйте, однако, получить 100, пользуясь знаками + и – всего только три раза! Это гораздо труднее. И все же вполне возможно, надо только терпеливо искать решение.

5. Книжный червь.

В моем книжном шкафу стоят на полке сочинения Пушкина в 8 томах, том к тому. Приехав с дачи, я с досадой убедился, что летом книжный червь усердно сверлил моего Пушкина и успел прогрызть ход от первой страницы первого тома до последней страницы третьего (рис. 3).

Сколько всего страниц прогрыз червь, если в первом томе 700 страниц, во втором – 640, а в третьем – 670?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 3. Собрание сочинений A.C. Пушкина в восьми томах и книжный червь.

6. Сложение и умножение.

Вы, без сомнения, не раз уже обращали внимание на любопытную особенность равенств:

2 + 2 = 4,

2 × 2 = 4.

Это единственный пример, когда сумма и произведение двух целых чисел (и притом равных) одинаковы.

Вам, однако, быть может, неизвестно, что существуют дробные числа (правда, не равные), обладающие тем же свойством:

3 + 1 1/ 2= 4 1/ 2,

3 × 1 1/ 2= 4 1/ 2.

Попытайтесь подыскать другие примеры. Чтобы вы не думали, что поиски напрасны, скажу: таких чисел весьма и весьма много.

7. Стрельба на пароходе.

Хороший стрелок стоит у одного борта парохода, а у противоположного помещена мишень.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 4. Тир на палубе парохода.

Пароход движется в направлении, показанном на рис. 4 длинной стрелкой.

Стрелок прицелился совершенно точно. Попадет ли он в цель?

8. Под водой.

На обыкновенных весах лежат: на одной чашке – булыжник, весящий ровно 2 кг, на другой – железная гиря в 2 кг. Я осторожно опустил весы под воду.

Остались ли чашки в равновесии?

9. Как это сделано?

Вы видите здесь деревянный куб, составленный из двух кусков дерева (рис. 5). Верхняя половина куба имеет выступы, входящие в выемки нижней части. Обратите внимание на форму и расположение выступов и объясните: как ухитрился столяр соединить оба куска?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 5. Хитроумное соединение в собранном виде.

10. Скорость поезда.

Вы сидите в вагоне железной дороги и хотели бы узнать, с какой скоростью он мчится. Можете ли вы определить скорость по стуку колес?

Решения задач 1-10.

1. Различно расположенных прямоугольников в этой фигуре можно насчитать 225.

2. Если речь идет о градусах температуры,то, конечно, градус Реомюра всегда больше градуса Цельсия – именно на 1/ 5долю; поэтому, если в вашей комнате по Реомюру 16 градусов, то по Цельсию – 20.

Но это вовсе не значит, что на той дощечке термометра, на которой нанесены деления (на «шкале»), длина градусов у термометра Реомюра всегда должна быть больше, чем у термометра Цельсия. Длина деления зависит от того, сколько ртути в шарике термометра, и от толщины трубки. Чем больше ртути в шарике и чем тоньше канал трубки, тем выше поднимается ртуть в трубке при нагревании и тем больше промежуток между делениями шкалы. В этом смысле «градус» может иметь самую разную длину, и вполне понятно, что в термометре Реомюра такой градус может быть и меньше градуса в термометре Цельсия.

3. Легко узнать, каков был среднийзаработок семерых плотников. Для этого нужно избыточные 3 руб. разделить поровну между 6 плотниками и к 20 руб. каждого прибавить полученные 50 коп. Вычислили средний заработок плотника.

Отсюда узнаем, что столяр заработал.

20 руб. 50 коп. + 3 руб.,

Т. е. 23 руб. 50 коп.

4. Вот каким способом можете вы получить 100 из ряда девяти цифр и трех знаков + и.

123 – 45 – 67 + 89 = 100.

В самом деле:

123 + 89 = 212,

45 + 67 = 112,

212 -112 = 100.

Других решений задача не имеет. Впрочем, если у вас есть терпение, попытайтесь испробовать другие сочетания.

5. Казалось бы, надо просто сложить страницы трех томов – и задача решена. Но не спешите с решением. Обратите внимание на то, как стоят книги на полке и как расположены в них страницы.

Вы видите, что 1-я страница тома I примыкает к 640-й странице тома II, а последняя страница тома III находится рядом с первой страницей тома II (рис. 6).

И если червь проделал ход от 1-й страницы тома I до последней страницы тома III, то он прогрыз всего только 640 страниц среднего тома да еще 4 крышки переплета, не более.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 6. Сколько страниц и крышек переплета прогрыз книжный червь?

6. Существует бесчисленное множество пар таких чисел. Вот несколько примеров:

4 + 1 1/ 3= 5 1/ 3;

4 × 1 1/ 3= 5 1/ 3;

9 + 1 1/ 8=10 1/ 8;

9 × 1 1/ 8=10 1/ 8;

21 + 1 1/ 20= 22 1/ 20;

21 × 1 1/ 20= 22 1/ 20;

5 + 1 1/ 4= 6 1/ 4;

5 × 1 1/ 4= 6 1/ 4;

11 + 1,1 =12,1;

11 × 1,1 =12,1;

101 + 1,01 = 102,01;

101 × 1,01 = 102,01.

7. Конечно, меткий стрелок попадет в цель – если только пароход движется равномерно по прямой линии. Такое движение парохода ничем не может повлиять на полет пули.

Другое дело, если бы в самый момент выстрела пароход внезапно остановился, или замедлил ход, или ускорил его, или изменил курс: тогда пуля могла бы и не попасть в цель.

8. Каждое тело, если погрузить его в воду, становится легче: оно «теряет» в своем весе столько, сколько весит вытесненная им вода. Зная этот закон (открытый Архимедом), мы без труда можем ответить на вопрос задачи.

Булыжник весом в 2 кг занимает больший объем, чем 2-килограммовая железная гиря, потому, что материал камня – гранит – легче железа. Значит, булыжник вытеснит больший объем воды, нежели гиря, и по закону Архимеда потеряет в воде больше веса, чем гиря. Следовательно, весы под водой наклонятся в сторону гири.

9. Ларчик открывается очень просто, как видно из рис. 7. Все дело в том, что выступы и углубления идут не крестом, как невольно кажется при рассматривании куба, а параллельно, в косом направлении. Такие выступы очень легко вдвинуть в соответствующие выступы сбоку.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 7. Хитроумное соединение в разобранном виде.

10. Вы заметили, конечно, что при езде в вагоне все время ощущаются мерные толчки: никакие рессоры не могут сделать их неощутимыми. Происходят эти толчки от того, что колеса слегка сотрясаются в местах соединения двух рельсов, и толчок передается всему вагону (рис. 8). Значит, стоит лишь вам сосчитать, сколько толчков в минуту испытывает вагон, и вы будете знать, сколько рельсов пробежал поезд. Теперь остается лишь умножить это число на длину рельса, и вы получите расстояние, проходимое поездом в одну минуту.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 8. Что происходит на стыке рельсов.

Обычная длина рельса – около 8 1/ 2метра. Сосчитав с часами в руках число толчков в минуту, умножьте это число на 8 1/ 2затем на 60 и разделите на 1000 – получится число километров, пробегаемое поездом в час:

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Так как.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

То достаточно разделить на 2 число толчков в минуту, чтобы приблизительно узнать, сколько километров пробегает поезд в час.

Десять затруднительных положений.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

1. Жестокий закон.

Жил некогда жестокий правитель, который не желал никого впускать в свои владения. У моста через пограничную реку был поставлен часовой, вооруженный с головы до ног, и ему было приказано спрашивать каждого путника:

– Зачем идешь?

Если путник говорил неправду, часовой обязан был схватить его и тут же повесить. Если же путник отвечал правду, ему и тогда не было спасения: часовой должен был немедленно утопить его в реке.

Таков был суровый закон жестокосердного правителя, и неудивительно, что никто не решался приблизиться к его владениям.

Но вот нашелся крестьянин, который, несмотря на это, спокойно подошел к охраняемому мосту у запретной границы.

– Зачем идешь? – сурово остановил его часовой, готовясь казнить смельчака, безрассудно идущего на верную гибель.

Но ответ был таков, что озадаченный часовой, строго исполняя жестокий закон, не мог ничего поделать с догадливым крестьянином.

Каков же был ответ?

2. Милостивый закон.

В некотором государстве был такой обычай. Каждый преступник, осужденный на смерть, тянул перед казнью жребий, который давал ему надежду на спасение. В ящик опускали две бумажки: одну со словом «жизнь»,другую со словом «смерть». Если осужденный вынимал первую бумажку, он получал помилование, если же имел несчастье вынуть бумажку со словом «смерть»,приговор приводился в исполнение.

У одного человека, живущего в этой стране, были враги, которые оклеветали его и добились, чтобы суд приговорил несчастного к смертной казни. Мало того, враги не желали оставить невинно осужденному ни малейшей возможности спастись. В ночь перед казнью они вытащили из ящика бумажку со словом «жизнь» и заменили ее бумажкой со словом «смерть». Значит, какую бы бумажку ни вытянул осужденный, он не мог избегнуть смерти.

Так думали его враги. Но у него были друзья, которым стали известны козни врагов. Они успели предупредить осужденного, что в ящике оба жребия имеют надпись «смерть». Друзья убеждали несчастного открыть перед судьями преступный подлог его врагов и настаивать на осмотре ящика с жребиями.

Но, к их изумлению, осужденный просил друзей хранить проделку врагов в строжайшей тайне и уверял, что тогда он будет наверняка спасен. Друзья приняли его за сумасшедшего…

На утро осужденный, ничего не сказав судьям о заговоре своих врагов, тянул жребий и – был отпущен на свободу!

Как же ему удалось так благополучно выйти из, казалось бы, безнадежного положения?

3. Учитель и ученик.

То, что описано ниже, произошло, говорят, в Древней Греции. Учитель мудрости, софист Протагор взялся обучить Квантла всем приемам адвокатского искусства. Между учителем и учеником было заключено условие, по которому ученик обязывался уплатить своему учителю вознаграждение тотчас же после того, как впервые обнаружатся его успехи, т. е. после первой же выигранной им тяжбы.

Квантл прошел уже полный курс обучения. Протагор ожидает платы, но ученик не торопится выступать на суде защитником. Как же быть? Протагор, наконец, решил взыскать с ученика долг по суду и подал на ученика в суд. Он рассуждал так: если дело будет им выиграно, то деньги должны быть взысканы на основании судебного приговора; если же тяжба будет им проиграна и, следовательно, выиграна его учеником, то деньги опять-таки должны быть уплачены Квантлом по уговору – платить после первой же выигранной учеником тяжбы.

Однако ученик, напротив, считал тяжбу Протагора совершенно безнадежной. Он, как видно, действительно кое-что перенял у своего учителя и рассуждал так: если его присудят к уплате, то он не должен платить по уговору – ведь он проиграл первую тяжбу; если же дело будет решено в его пользу, то он опять-таки не обязан платить – на основании судебного приговора.

Настал день суда. Судья был в большом затруднении. Однако после долгого размышления он нашел, наконец, выход – такой приговор, который, нисколько не нарушая условий соглашения между учителем и учеником, в то же время давал учителю возможность получить обусловленное вознаграждение.

Каков был приговор судьи?

4. На болоте.

Отряд французских солдат во время похода в Алжире очутился однажды в местности, совершенно лишенной растительности и притом с почвой настолько болотистой, что, хотя по ней и можно было ступать, сесть на нее было совершенно невозможно. Усталый отряд продвигался вперед в поисках подходящего места для привала, но на десятки верст простиралась все та же болотистая почва. Как отдохнуть, если нет кругом ни единого сухого местечка и ничего такого, что можно было бы подложить или на что можно было бы сесть?

И все-таки одному солдату пришла в голову счастливая мысль, которая помогла отряду выйти из затруднительного положения. Солдаты уселись и отдохнули.

Как? Отгадайте!

5. Три разведчика.

В не менее затруднительном положении оказались однажды трое пеших разведчиков, которым необходимо было перебраться на противоположный берег реки при отсутствии моста. Правда, на реке катались в челноке два мальчика, готовые помочь солдатам. Но челнок был так мал, что мог выдержать вес только одного солдата. Даже солдат и один мальчик не могли одновременно сесть в лодку без риска ее потопить. Плавать же солдаты совсем не умели.

Казалось бы, при таких условиях мог переправиться через реку только один солдат. Между тем все три разведчика вскоре благополучно очутились на противоположном берегу и возвратили лодку мальчикам. Как они это сделали?

6. Слишком много предков.

У меня есть отец и мать. У моего отца и у моей матери тоже, конечно, были отец и мать. Значит, восходя к 3-му поколению, я нахожу у себя 4 предков.

Каждый из моих двух дедов и каждая из моих двух бабушек также имели отца и мать. Следовательно, в 4-м поколении у меня 8 прямых предков. Восходя к 5-му, 6-му,

7-му и т. д. поколениям я нахожу, что число моих предков все возрастает и притом чрезвычайно заметно, именно:

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Вы видите, что 20 поколений назад у меня была уже целая армия прямых предков, больше полумиллиона. И с каждым предыдущим поколением это число удваивается.

Если считать, как обыкновенно принимается, по три поколения в столетие, то в начале нашей эры, 19 веков тому назад, на Земле должно было жить несметное количество моих предков: можно вычислить, что число их записывается 18 цифрами.

Чем дальше в глубь веков, тем число моих предков должно возрастать. В эпоху первых фараонов численность их должна была доходить до умопомрачительной величины. В каменный век, предшествовавший египетской истории, моим предкам было уже, вероятно, тесно на земном шаре.

Но ведь и у вас, читатель, было столько же прямых предков. Прибавьте их к моим и присоедините еще предков всех своих знакомых, да прибавьте еще предков всех вообще людей, живущих ныне на Земле, и вы легко вообразите, в какой страшной тесноте жили наши предки: ведь для них буквально не хватало места на земном шаре!

Не укажете ли вы им выход из этого затруднительного положения?

7. В ожидании трамвая.

Три брата, возвращаясь из театра домой, подошли к рельсам трамвая, чтобы вскочить в первый же вагон, который подойдет. Вагон не показывался, и старший брат предложил подождать.

– Чем стоять здесь и ждать, – ответил средний брат, – лучше пойдем вперед. Когда вагон догонит нас, тогда и вскочим; а тем временем часть пути будет уже за нами – скорее домой приедем.

– Если уж идти, – возразил младший брат, – то не вперед по движению, а в обратную сторону: тогда нам, конечно, скорее попадется встречный вагон, мы раньше и домой прибудем.

Так как братья не могли убедить друг друга, то каждый поступил по-своему: старший остался ожидать на месте, средний пошел вперед, младший – назад.

Кто из трех братьев раньше приехал домой? Кто из них поступил благоразумнее?

8. Куда девался гость?

Можно ли посадить 11 гостей на 10 стульев так, чтобы на каждом стуле сидело по одному человеку? Вы думаете – нельзя? Нет, можно – надо только умеючи взяться за дело.

Поступите так. Первого гостя посадите на первый стул. Затем попросите 11-го гостя сесть временно на тот же первый стул. Усадив этих двух гостей на первый стул, вы усаживаете:

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Как видите, остается свободным 10-й стул. На него вы и посадите 11-го гостя, который временно сидел на 1-м стуле.

Теперь вы счастливо вышли из затруднительного положения: у вас рассажены все 11 гостей на 10 стульях.

А все-таки, куда девался один гость?

9. Без гирь.

Вам принесли на дом 10 кг сливочного масла. Вы желаете купить всего только.

5 кг. У одного соседа нашлись весы с коромыслом, но гирь нет ни у вас, ни у разносчика и ни у одного из соседей. Можете ли вы без всяких гирь отвесить 5 кг от 10?

10. На неверных весах.

Представьте себе, что когда вы догадались, наконец, как отвесить масло без гирь, входит ваш сосед, ссудивший вам весы, и сообщает, что весы его очень ненадежны – на верность их полагаться нельзя.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 1. Взвешивание без гирь.

Можете ли вы даже и на неверных весах, притом без гирь, отвесить правильно 5 килограммов от 10-килограммового куска?

Решения задач 1-10.

1. На вопрос часового: «Зачем идешь?» – крестьянин дал такой ответ:

– Иду, чтобы быть повешенным на этой виселице.

Такой ответ поставил часового в тупик. Что он должен сделать с крестьянином? Повесить? Но, значит, крестьянин сказал правду,за правдивый же ответ было приказано не вешать, а топить. Но и утопить нельзя: в таком случае крестьянин солгал, а за ложное показание предписывалось повесить.

Так часовой и не смог ничего поделать со сметливым крестьянином.

2. Вытаскивая жребий, осужденный поступил так: вынул одну бумажку из ящика и, никому не показывая, разорвал ее. Судьи, желая установить, что было написано на уничтоженной бумажке, извлекли из ящика оставшуюся бумажку со словом «смерть». Следовательно, – рассуждали судьи, – на разорванной бумажке было написано « жизнь»(они ведь ничего не знали о заговоре).

Готовя невинно осужденному верную гибель, враги обеспечили ему спасение.

3. Приговор был таков: учителю в иске отказать, но предоставить ему право вторично возбудить дело на новом основании – именно на том, что ученик выиграл свою первую тяжбу. Эта втораятяжба должна быть решена, бесспорно, уже в пользу учителя.

4. Солдаты сели… друг другу на колени! Выстроились по кругу и каждый сел на колени своего соседа. Вы думаете, что первому солдату пришлось все-таки сидеть на болоте? Ничуть – при групповом расположении вовсе и нет этого «первого» солдата: каждый опирается на колени своего соседа, и кольцо сидящих замыкается…

Если это представляется вам сомнительным, попробуйте с несколькими десятками товарищей сесть таким образом в кольцо. Вы сможете на деле убедиться, что изобретательный солдат действительно нашел выход из положения.

5. Пришлось сделать 6 следующих переправ:

1-я переправа.Оба мальчика подъезжают к противоположному берегу, и один из них привозит лодку к разведчикам (другой остается на том берегу).

2-я переправа.Мальчик, привезший лодку, остается на этом берегу, а в челнок садится первый солдат, который и переправляется на другой берег. Челнок возвращается с другим мальчиком.

3-я переправа.Оба мальчика переправляются через реку, один из них возвращается с челноком.

4-я переправа.Второй солдат переправляется на противоположный берег. Челнок возвращается с мальчиком.

5-я переправа –повторение 3-й.

6-я переправа.Третий солдат переправляется на противоположный берег. Челнок возвращается с мальчиком, и дети продолжают прерванное катание по реке.

Теперь все три солдата находятся на другом берегу.

6. Нелепый результат, который мы получили, исчисляя своих предков, объясняется тем, что нами упущено из виду одно весьма простое обстоятельство. Мы не приняли в расчет, что наши отдаленные предки могут быть и в кровном родстве между собой и, следовательно, иметь общих предков. Мой отец и моя мать, может, уже в 5-м или 6-м поколении назад имели общего деда, который, возможно, был и вашим предком, читатель. Это соображение разбивает все наши расчеты и уменьшает несметные полчища наших отдаленных предков до весьма скромной цифры, при которой не может быть и речи о тесноте.

7. Младший брат, пойдя назад по движению, увидел идущий навстречу вагон и вскочил в него. Когда этот вагон дошел до места, где ожидал старший брат, последний вскочил в него. Немного спустя тот же вагон догнал идущего впереди среднего брата и принял его. Все три брата очутились в одном и том же вагоне – и, конечно, приехали домой одновременно.

Однако благоразумнее всего поступил старший брат: спокойно ожидая на одном месте, он устал меньше других.

8. Исчезнувший гость – это второйгость, который был незаметно пропущен при распределении стульев: после 1-го и 11-го гостя мы сразу перешли к 3-му и следующим, миновав 2-го. Оттого-то нам и удалось разместить 11 гостей на 10 стульях, по одному человеку на каждом.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 2. Куда девался исчезнувший гость.

9. Задача сводится в сущности к тому, чтобы разделить 10 кг масла на две равные по весу части. Положите на каждую чашку по бумажному листу и накладывайте на них масло до тех пор, пока 10 кг распределятся поровну между ними. Ясно, что теперь на каждой чашке ровно 5 кг – если только весы правильны.

10. И на неверных весах можно достичь того же, но более сложным путем. Сначала надо разделить десять килограммов масла на две части так, чтобы они были приблизительно(на глаз) равны.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 3. Как разделить поровну 10 кг масла на правильных весах.

Затем берут одну из этих частей, кладут на чашку весов; на другую же чашку накладывают камешков или чего угодно до тех пор, пока чашки не будут уравновешены. Тогда снимают с чашки первую часть масла и вместо нее кладут вторую. Если окажется при этом, что чашки весов остаются на прежнем месте, то, значит, обе части масла равны, так как заменяют одна другую по весу.В таком случае, разумеется, каждая из них весит ровно 5 кг.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 4.

Если же чашки не будут на одном уровне, то надо от одного куска переложить немного масла на другой и повторять это до тех пор, пока обе порции не будут вполне заменять друг друга на одной и той же чашке весов.

Подобным же образом можно действовать и при неверных пружинных весах: перекладывать масло из одного пакета в другой до тех пор, пока оба пакета не будут оттягивать указатель весов до одной и той же черты (хотя эта черта, может, и не стояла против 5 кг).

Десять замысловатых задач.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

1. Дешевый сторож.

Арендатору большого фруктового сада понадобилось на целые сутки отлучиться как раз в ту пору, когда яблоки поспели и представляли наибольший соблазн для любителей полакомиться на чужой счет. Необходимо было нанять на эти сутки сторожа. Скупой арендатор долго выбирал сторожа подешевле, пока не напал на такого, который вовсе не просил денег, а довольствовался уплатой яблоками. Это понравилось арендатору.

– Сторожить нужно целые сутки без смены и перерыва, никуда не отлучаясь. Поспать успеете потом, когда отдежурите.

– Хорошо, буду без смены. Но платить вам придется не ровно: за каждый следующий час вдвое больше против предыдущего.

– Это бы можно; но сколько же вы хотите за первый час?

– Уж чего меньше: одно яблоко на первый час дадите, и достаточно. За второй – два яблока положите, и довольно. За третий – четыре, и хватит. За четвертый…

– Ладно, – поспешил согласиться арендатор. – «Если этот чудак так же честен, как нерасчетлив, то я, кажется, сделал выгодное дело: за несколько десятков яблок достал сторожа на целые сутки», – подумал он, уходя.

Сторож был нанят, и арендатор спокойно уехал, радуясь тому, что на свете есть люди, не умеющие считать.

Когда спустя сутки арендатор возвратился к своему саду, он увидел у ворот телегу, на которую его сторож ссыпал один мешок яблок за другим.

– Это что такое, – накинулся на него арендатор. – Я вас нанимал сторожить, а не грабить. Куда увозите мои яблоки?

– Были ваши, теперь мои, – спокойно ответил сторож. – Забыли, небось, уговор?

– Уговор? Да разве по нашему уговору вам за одни сутки следует яблок целый воз? Считать не умеете…

– И не один воз следует. Сами считать не умеете.

– Не один воз! Что за вздор! Уж не все ли яблоки моего сада?

– Не только вашего. Во всем городе не закупите яблок, чтобы со мной расплатиться. Возов тысячи три понадобится, не меньше.

– Три тысячи возов яблок? За одни сутки? Ничего не понимаю…

А вы, читатель, понимаете? Кто из них считать не умел: сторож или арендатор? А может быть, ни тот ни другой?

Однажды, когда пары были уже разведены и поезд должен был тронуться, она стала у паровоза и заявила машинисту:

– Отдавай сейчас долг, иначе не пущу поезд!

Машинист, разумеется, только усмехнулся, услыхав такую угрозу.

Но женщина не шутя намеревалась не дать поезду тронуться с места.

И что же? Машинист пустил в ход машину, но паровоз ни с места. Машина работает, а поезд стоит, словно заколдованный.

– Отдай деньги – пущу поезд! – с торжеством объявила крестьянка.

Пришлось машинисту заплатить долг полностью; тогда только поезд тронулся.

В чем же состояло «колдовство» молочницы, и как оно было ею снято?

Крыжовник в полном цвету; на то, чтобы посетить все цветы, уходит полтора часа. А затем, не отвлекаясь в стороны, кратчайшей дорогой летит домой, в родное гнездо.

Сколько времени отсутствовал шмель?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 1.

4. Ящик.

У меня есть ящик, и я могу вам сказать, что крышка его заключает 120 квадратных дюймов, передняя стенка – 96, а боковая – 80.

Можете ли вы определить, каковы размеры моего ящика, т. е. сколько он имеет в длину, ширину и высоту?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 2. Мой ящик.

5. Две цепи.

Найдены два обрывка железной цепи, составленные из одинаковых звеньев. Один обрывок, будучи растянут, занимает в длину 36 см, другой – 22 см. Толщина кольца – полсантиметра. В длинной цепи на 6 звеньев больше, чем в короткой.

Сколько звеньев в каждом обрывке?

6. Мешки с мукой.

Мельнику потребовалось взвесить 5 мешков с мукой. У него имелись весы, но не хватало некоторых гирь, и поэтому невозможно было взвесить меньше, чем 100 кг. Мешки же весили около 60 кг каждый.

Мельник не растерялся и стал взвешивать мешки по два, парами. Из 5 мешков можно составить 10 различных пар: поэтому пришлось сделать 10 взвешиваний. Получился ряд чисел, который приведен здесь в возрастающем порядке:

110 кг, 112 кг, 113 кг, 114 кг, 115 кг,

116 кг, 117 кг, 118 кг, 120 кг, 121 кг.

Но сколько же весит каждый мешок в отдельности? Как это узнать?

Мельник справился с задачей довольно быстро. Вероятно, и вы догадаетесь, как она решается.

7. Три дочери и два сына.

Дядя приехал навестить своих двух племянников и трех племянниц, которых давно не видел.

Первыми вышли к нему маленький Володя с сестренкой Женей, и мальчуган гордо объявил дяде, что он в два раза старше своей сестры.

Затем выбежала Надя, и вошедший с нею папа сказал гостю, что обе девочки вдвое старше мальчика.

Когда пришел из школы Алеша, папа объявил, что мальчики вместе вдвое старше обеих девочек.

Позднее всех пришла Лида и, увидев гостя, радостно воскликнула:

– Дядя, вы приехали как раз в день моего рождения! Мне сегодня исполнился 21 год!

– И знаете еще что, – прибавил отец, – я сейчас сообразил, что мои три дочери вместе вдвое старше обоих моих сыновей.

Сколько же лет было каждому сыну и каждой дочери?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 3.

8. Две свечи.

Внезапно погас электрический свет во всей квартире – испортилась проводка. Чтобы не прерывать работы, я зажег две свечи, стоявшие на моем письменном столе на всякий случай, и при их свете занимался до тех пор, пока проводка не была приведена в исправность.

Спустя день мне понадобилось узнать, на сколько именно времени было прервано электрическое освещение. Я забыл отметить по часам, когда выключили свет и когда его включили снова. Не помнил я и длины свеч.

Знаю только, что одна свеча была потолще, такие свечи сгорают целиком за 5 часов, другая – потоньше и могла бы сгореть за 4 часа. Ищу огарки – и не нахожу: домашние выбросили их.

– Какой же они были длины? – спрашиваю у них.

– Один был совсем маленький, а другой побольше.

– Во сколько же раз больше? Вдвое?.. Не помните ли этого? – допытывался я.

– Ровно в четыре раза, – ответили мне. Итак, стало известно только то, что один огарок был в четыре раза длиннее другого. Возможно ли на этом основании определить, сколько времени горели свечи?

9. Девятьсот поклонников.

В одной школе обучалось вдвое больше девочек, чем мальчиков. Заведующий ввел обычай: ежедневно поутру каждый мальчик должен был делать поклон заведующему, каждому из своих товарищей-мальчиков и каждой девочке, каждая девочка также должна была делать поклон заведующему, каждой своей подруге и каждому мальчику.

Этот церемонный обычай строго соблюдался, и поэтому ежедневно утром можно было насчитать 900 поклонов.

Сколько было в школе мальчиков и девочек?

10. Наследство раджи.

Некий раджа, умирая, оставил свои брильянты сыновьям. В завещании его дети прочитали: старший сын получает 1 брильянт и седьмую долю всех остальных; второй сын получает 2 брильянта и седьмую долю всех остальных; третий сын – 3 брильянта и седьмую долю всех остальных; четвертый -4 брильянта и седьмую долю всех остальных и т. д. Таким образом наследство было разделено между сыновьями без остатка.

Сколько сыновей было у раджи и сколько он оставил брильянтов?

Решения задач 1-10.

1. Сторож рассчитал совершенно правильно: ему действительно причиталось даже более трех тысяч возов яблок, как это ни невероятно.

В самом деле. Проследим, как возрастало вознаграждение сторожа с каждым часом.

За 1-й час сторож должен был получить яблоко, за 2-й час – 2 яблока, за 3-й час -4 яблока, за 4-й – 8, за 5-й – 16, за 6-й – 32, за 7-й – 64, за 8-й – 128, за 9-й – 256, за 10-й -512.

Пока еще вознаграждение как будто не грозит арендатору разорением: за первые 10 часов сторожу причиталось всего около по л у тысячи яблок.

Но продолжим исчисление.

За 11-й час сторожу следовало 1024 яблока, за 12-й – 2048, за 13-й – 4096, за 14-й -8192, за 15-й – 16 384.

Накапливается внушительное число яблок, но все же до трех тысяч возов еще далеко.

Далее.

За 16-й час следовало 32 768 яблок.

За 17-й – "– "– 65 536 – "-

За 18-й – "– "– 131 072 – "-

За 19-й – "– "– 262 144 – "-

За 20-й – "– "– 524 288 – "-

Арендатор уже должен сторожу свыше полумиллиона яблок. Но сутки не кончены – остается еще 4 часа.

За 21-й надо было уплатить 1 048 576 яблок.

За 22-й – "– "– "– 2 097 152 – "-

За 23-й – "– "– "– 4 194 304 – "-

За 24-й – "– "– "– 8 388 608 – "-

Теперь нужно сложить все эти числа от 1 до 8 388 608. Получаем 16 777 215 яблок. Итак, сторожу за одни сутки следовало согласно уговору почти 17 миллионов яблок! Чтобы только пересчитать такое количество яблок по одному в секунду, понадобилось бы полгода непрерывного счета! Полагая по 10 яблок на килограмм, узнаем, что все причитающиеся сторожу яблоки должны были весить 1 677 721 кг, или 1678 тонн.

Это составило бы вагонов 80, груженных яблоками, или, считая по полтонны на воз, свыше 3000 возов. Не правда ли, можно было найти сторожа и подешевле?

2. Крестьянка не дала поезду отправиться в путь тем, что смазала маслом рельсы впереди паровоза. По скользким рельсам не могут катиться колеса паровоза; они вертятся на одном месте, но не катятся вперед, так как нет трения, благодаря которому колеса словно цепляются за рельсы. Вспомните, как трудно ходить по гладкому льду: ноги скользят, не находя опоры, и мы не можем сдвинуться с места. По той же причине не мог сдвинуться и паровоз.

Когда же машинист уплатил долг, крестьянка «сняла колдовство», посыпав смазанные рельсы песком.

История эта, конечно, могла произойти только в давнее время; на современных паровозах имеются специальные песочницы, из которых машинист с помощью особого приспособления высыпает песок на рельсы, когда они становятся скользкими, например, от дождя.

3. Задача решалась бы очень просто, если бы было известно, сколько времени понадобилось шмелю на перелет из сада в родное гнездо. Этого в задаче не сказано, но геометрия поможет нам самим узнать необходимые данные.

Начертим путь шмеля. Мы знаем, что шмель летел сначала «прямо на юг» в течение 60 мин. Затем он летел 45 мин «на запад», т. е. под прямым углом к прежнему пути. Оттуда «кратчайшей дорогой», т. е. по прямой линии – обратно к гнезду. У нас получился прямоугольный треугольник ABC, в котором известны оба «катета», AB и ВС, и надо определить третью сторону, – «гипотенузу» АС.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 4. Маршрут шмеля.

Геометрия учит, что если какая-нибудь величина содержится в одном катете 3 раза, а в другом – 4 раза, то в третьей стороне – гипотенузе – та же величина должна содержаться ровно 5 раз.

Например, если катеты треугольника равны 3 и 4 м, то гипотенуза равна 5 м; если катеты равны 9 и 12 км, то третья сторона равна 15 км и т. п. В нашем случае один катет равен 3 х 15 мин пути, другой -4 × 15 мин пути; значит, гипотенуза АС равна 5 × 15 мин пути. Итак, мы узнали, что из сада к гнезду шмель летел 75 мин, то есть 1 1/ 4часа.

Теперь легко уже подсчитать, сколько времени шмель отсутствовал. На перелеты он потратил:

1 час + 3/ 4часа + 1 1/ 4часа = 3 часа.

На остановки у него ушло времени:

1/ 2часа + 1 1/ 2часа = 2 часа.

Итого: 3 часа + 2 часа = 5 часов.

4. Поверхность крышки равна произведению длины ящика и его ширины; поверхность боковой стенки равна высоте × ширину; поверхность передней стенки – высоте × длину. Таким образом,

Длина × ширина = 120;

Высота × ширина = 80;

Высота × длина = 96.

Перемножим первые два равенства. Получим:

Длина × высота × ширина × ширина = 120 × 80.

Разделим это новое равенство на 3-е:

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Сократив дробь и произведя действия, имеем:

Ширина × ширина =100.

И, следовательно, ширина ящика равна 10 см. Зная это, легко определить, что высота ящика равна:

80/10 = 8 см,

А его длина = 96/8 = 12 см.

5. Вы не решите этой простой задачи, если не уясните себе сначала, из чего складывается длина цепи. Всмотритесь в рис. 5.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 5. Звенья цепи.

Вы видите, что длина натянутой цепи складывается из полной ширины первого звена, к которой с присоединением каждого нового звена прибавляется не полная ширина звена, а ширина звена без его двойной толщины.

Теперь перейдем к нашей задаче.

Мы знаем, что одна цепь длиннее другой на 14 см и имеет на 6 звеньев больше. Разделив 14 на 6, получаем 2 1/ 3. Это и есть ширина одного звена, уменьшенная на двойную его толщину. Так как толщина кольца известна – полсантиметра, то полная ширина каждого звена равна 2 1/ 3+ 1/ 2+ 1/ 2+ З 1/ 3сантиметра.

Теперь легко определить, из скольких звеньев состояла каждая цепь. Из рисунка видно, что если мы отнимем от 36-сантиметро-вой цепи двойную толщину первого звена, т. е. 1 см, а разность разделим на 2 1/ 3, то получим число звеньев в этой цепи:

35: 2 1/ 3= 15.

Точно так же узнаем число звеньев в 22-дюймовой цепи:

21: 2 1/ 3= 9.

6. Мельник начал с того, что сложил все 10 чисел. Полученная сумма, 1156 кг – не что иное, как учетверенный вес мешков: ведь в нее вес каждого мешка входит 4 раза. Разделив эту величину на 4, узнаем, что пять мешков вместе весят 289 кг.

Для удобства обозначим мешки в соответствии с их весом номерами. Самый легкий мешок получит номер 1, второй по тяжести – 2 и т. д.; самый тяжелый мешок – номер 5. Нетрудно сообразить, что в ряду чисел: 110 кг, 112 кг, 113 кг, 114 кг, 115 кг, 116 кг, 117 кг, 118 кг, 120 кг, 121 кг – первое число составилось из веса двух самых легких мешков, 1 и 2, второе число – из веса мешков 1 и 3. Последнее число есть не что иное как вес двух самых тяжелых мешков, 4 и 5, а предпоследнее – 3-го и 5-го. Итак,

1 и 2 вместе весят 110 кг.

1 и 3 – "– "– 112 – "-

3 и 5 – "– "– 120 – "-

4 и 5 – "– "– 121 – "-

Теперь легко узнать сумму весов мешков 1,

2, 4 и 5: она равна 110 кг + 121 кг = 231 кг. Вычтя это число из общей суммы веса всех мешков (289 кг), получаем вес мешка 3, именно 58 кг.

Далее, из суммы веса мешков 1 и 3, т. е. из 112, вычитаем известный уже нам вес мешка 3; получается вес мешка 1: 112 кг – 58 кг = 54 кг.

Точно так же узнаем вес мешка 2, вычтя 54 кг из 110 кг, т. е. из суммы веса мешков 1 и 2. Получаем: вес мешка 2 равен 110 кг – 54 кг = 56 кг.

Из суммы веса мешков 3 и 5, т. е. из 120, вычитаем вес мешка 3, который равен 58 кг; узнаем, что мешок 5 весит 120 кг – 58 кг = 62 кг.

Остается определить вес мешка 4 из суммы весов мешков 4 и 5, т. е. из 121 кг. Вычтя 62 из 121, узнаем, что мешок 4 весит 59 кг.

Итак, вот вес мешков:

54 кг, 56 кг, 58 кг, 59 кг, 62 кг.

7. Мы знаем, что Володя вдвое старше Жени, а Надя и Женя вместе вдвое старше Володи. Значит, годы Нади и Жени, сложенные вместе, вчетверобольше, чем возраст Жени. Отсюда прямо следует, что Надя старше Жени в 3 раза.

Далее, мы знаем, что сумма лет Алеши и Володи вдвое больше суммы лет Нади и Жени. Но возраст Володи есть удвоенный возраст Жени, а годы Нади и Жени, сложенные вместе, есть учетверенный возраст Жени. Следовательно,

Годы Алеши + удвоенный возраст Жени = 8-кратному возрасту Жени,

Т. е.:

Алеша старше Жени в 6 раз.

Наконец, нам известно, что сумма возрастов Лиды, Нади и Жени равна удвоенной сумме возрастов Володи и Алеши.

Имея перед глазами табличку:

Лиде – 21 год.

Надя – в 3 раза старше Жени,

Володя – в 2 раза старше Жени,

Алеша – в 6 раз старше Жени,

Мы можем сказать, что.

21 год + утроенный возраст Жени + возраст Жени = 4-кратному возрасту Жени + 12-кратному возрасту Жени,

Или:

21 год + 4-кратный возраст Жени = 16-кратному возрасту Жени.

Значит, 21 год равен 12-кратному возрасту Жени и, следовательно, Жене 21: 12 = 1 3/ 4года.

Теперь уже легко определить, что Володе 3 1/ 2года, Наде – 5 1/ 4и Алеше – 10 1/ 2лет.

8. Для ясности нарисуем рядом две свечи – толстую, которая сгорает за 5 часов, и тонкую, которая сгорает за 4 часа. Заштрихуем сгоревшие части обеих свечей. Легко сообразить, что длина сгоревшей части тонкой свечи должна составлять 5/ 4длины сгоревшей части толстой; другими словами, заштрихованный избыток тонкой свечи составляет по длине 1/ 4сгоревшей части толстой. Но в то же время длина этого избытка равна 1/ 4длины толстого огарка. Другими словами, мы узнали, что 3/ 4длины толстого огарка равны 1/ 4длины сгоревшей части толстой свечи. Значит, 4/ 4толстого огарка, т. е. весь огарок, составляет 1/ 4× 4/ 3 = 1/ 3толстой свечи.

Итак, огарок толстой свечи равен 1/ 3сгоревшей части или 1/ 4всей длины свечи. Сгорело, следовательно, 3/ 4толстой свечи. А так.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 6. Две свечи – толстая и тонкая как вся свеча могла сгореть за 5 часов, то 3/ 4ее горело в течение.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Ответ: свечи горели 3 3/ 4часа.

9. Каждый ученик и ученица ежедневно раскланивались со всеми остальными школьниками и с заведующим. С самими собою, конечно, не раскланивались, зато делали поклон заведующему, так что каждый школьник и школьница ежедневно делали столько поклонов, сколько было детей в школе. Значит, все дети вместе ежедневно делали столько поклонов, сколько будет, если умножить их общее число само на себя.

Итак, мы знаем, что 900 – это число детей, умноженное само на себя. Какое же число, умноженное на себя, составит 900? Очевидно, 30. А так как девочек было вдвое больше, чем мальчиков, то из 30 детей было 20 девочек и 10 мальчиков.

Проверим это. Девочки делают 19 × 20 = = 380 поклонов подругам и 20 × 10 = 200 поклонов мальчикам. Мальчики мальчикам делают 9 × 10 = 90 и девочкам – 10 × 20 = = 200 поклонов. Итого: 380 + 200 + 90 + 200 = 870 поклонов. Присоединив еще 30 поклонов заведующему, имеем ровно 900.

10. Задачу надо решать с конца. Самый младший сын получил столько брильянтов, сколько было сыновей, и еще 1/ 7остальных; но так как остатка никакого не было, то младший сын получил столько брильянтов, сколько было всех сыновей. Далее, предыдущий сын получил брильянтов на один меньше, чем было сыновей, да еще 1/7 остальных брильянтов. Значит, то, что получил самый младший, есть 6/ 7этого «остального» (а все «остальное» есть 7/ 7).

Отсюда вытекает, что число брильянтов самого младшего сына должно делиться на 6 без остатка. Попробуем допустить, что их было 6, и испытаем, подходит ли это число.

Если младший сын получил 6 брильянтов, то значит, он был шестой сын, и всех сыновей было 6. Пятый сын получил 5 брильянтов плюс 1/ 7от 7, т. е. 5 + 1 = 6. Далее, 12 камней есть 6/ 7, оставшегося после четвертого сына,полный остаток – 14 камней, и четвертый сын получил 4 + 1/ 7от 14 = 6.

Вычисляем то, что осталось после третьегосына: 18 есть 6/ 7этого остатка; значит, полный остаток – 21. Третий сын получил 3 +!/ 7от 21 = 6 брильянтов.

Точно так же узнаем, что на долю второго и первого сына пришлось тоже по 6 камней.

Итак, у раджи было 36 брильянтов и 6 сыновей.

Мы проверили число 6 и нашли, что оно удовлетворяет условиям задачи. Испытав 12, 18 и 24, убедимся, что эти числа не годятся, а больше двух дюжин детей у раджи едва ли могло быть.

Десять задач о Земле и небе.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

1. Всюду юг!

Существует шуточный рассказ [2]об одном турке, который будто бы попал однажды в «самую восточную страну». Турок так описывает эту сказочную страну:

«И впереди восток, и с боков восток. А запад? Вы, может быть, думаете, что он все-таки виден, как точка какая-нибудь, едва движущаяся вдали?.. Неправда! И сзади восток! Короче – везде и всюду нескончаемый восток!».

Такой страны, которая со всех сторон окружена востоком, конечно, быть не может. Но зато существует такое место на земном шаре, которое отовсюду окружено югом: во все стороны от этого места простирается «один нескончаемый юг».

Это кажется с первого взгляда невозможным, а между тем стоит лишь немного подумать, и вы сообразите, что такое необычайное место на земном шаре существует. В этом удивительном месте развевается теперь английский флаг, и я уверен, что вы даже знаете имя человека, который водрузил его.

Где же находится это место?

Чтобы помочь вам догадаться, я прибавлю, что там не жарко, даже не тепло, хотя во все стороны от него простирается юг.

2. По телефону.

В Америке между Нью-Йорком и Сан-Франциско устроено телефонное сообщение, так что жители Нью-Йорка, расположенного на берегу Атлантического океана, могут переговариваться по телефону с жителями Сан-Франциско, живущими на берегу Тихого океана.

Конторы в Северной Америке открыты с 10 часов утра до 4 часов дня.

В течение скольких дневных часов конторские служащие в Нью-Йорке и Сан-Франциско могут вести между собой деловые разговоры по телефону?

3. Где начинаются дни недели?

В воскресенье гости засиделись за полночь.

– Пора уходить, – объявил один, – завтра понедельник, и надо быть рано на службе.

– Завтра вторник, – с улыбкой поправил его хозяин.

– Что вы? Разве сегодня не воскресенье?

– Нет, уже понедельник: ведь сейчас пробило двенадцать часов!

– А, вот вы о чем! Ну, разумеется, раз полночь наступила, значит, теперь уже понедельник.

– Не везде, – вмешался другой гость, моряк. – Здесь у нас, в Москве, понедельник, но в Ленинграде еще воскресенье: там сейчас половина двенадцатого.

– Правильно, – согласился хозяин, – теперь понедельник только на восток от нас: в Нижнем, в Перми, в Красноярске…

– В Красноярске понедельник начался четыре часа назад, – пояснил моряк. – А в Петропавловске понедельник наступил уже восемь часов назад. Кстати, как вы думаете, где понедельник всего раньше наступает?

– В самом деле! – воскликнул хозяин. – А вот еще интересный вопрос: чем дальше на восток, тем понедельник наступает раньше. А между тем на запад от нас простирается еще воскресенье. Значит, должна же где-нибудь проходить граница между воскресеньем и понедельником: ведь Земля круглая. Где же эта граница?

– Там, где начинаются дни недели, – ответил моряк.

– Я не знаю, как решается эта задача, – заметила одна гостья, – но мне вспоминается интересный рассказ Эдгара По о «Трех воскресеньях на одной неделе». Два моряка вернулись из кругосветного плавания и сошлись вместе. Один объехал земной шар с запада на восток, другой – с востока на запад; оба оказались в некотором пункте в один и тот же день. Но каждый из двух путешественников называл этот день иначе. Тот, который объехал Землю с запада на восток, совершил лишний оборот вокруг земной оси; он лишний раз видел восход Солнца, и потому он насчитал одним днем больше, чем следует. Он убежден, что воскресенье было вчера, между тем как оно наступило только сегодня. Другой моряк, прибывший с востока и, следовательно, все время двигавшийся против вращения Земли, сделал вокруг земной оси одним оборотом меньше, чем успела за то же время сделать Земля; он видел восход Солнца одним разом меньше, и в его счете дней одного не хватает. Потому он убежден, что воскресенье будет только завтра, хотя оно наступило уже сегодня. Вот и получилось на одной неделе три воскресенья: вчера, сегодня и завтра…

– Это возможно только в фантастическом рассказе, – ответил гостье моряк. – У Жюля Верна, в романе «Вокруг света в 80 дней», герой тоже сбился со счета дней и не подозревал, что приехал на целые сутки раньше. Впрочем, в старину подобные ошибки были возможны. Со спутниками Магеллана произошел именно такой случай: объехав вокруг света, они привезли с собой в Португалию четверг вместо пятницы. Но в наши дни ничего подобного не может случиться.

– Почему же? – раздались голоса.

– Вам это станет ясно, если вы ответите сначала на вопрос: где начинается понедельник?

И в самом деле, читатель, где на земном шаре начинаются дни недели? Где раньше всего происходит смена одного дня другим?

4. Наперегонки с Землей.

Может ли человек состязаться с земным шаром в его суточном движении вокруг оси? Может ли человек «перегнать Землю» [3]если не пешком, то, например, на быстро мчащемся автомобиле?

Заодно ответьте и на такие вопросы. Может ли человек, находясь на Земле, увидеть Солнце восходящим с запада? И прав ли был Кольцов, когда восклицал:

Но, увы, не взойдет Солнце с запада!

5. Закат солнца.

Посмотрите на изображенный здесь закат Солнца (рис. 1) и скажите: правильно ли он нарисован?

В этом рисунке есть одна несообразность, которую вам и нужно обнаружить.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 1. Закат Солнца: все ли правильно на рисунке?

6. Турецкий флаг.

Вам, конечно, знаком турецкий флаг. На нем изображен серп молодого месяца, а между рогами лунного серпа – звезда (рис. 2).

Замечаете ли вы, что в изображении турецкого флага есть явная несообразность? В чем она состоит?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 2. Турецкий флаг.

7. Задача-шутка.

Где на Земле легче всего живется?

Эта задача похожа на загадку или на задачу-шутку типа: «Почему птица летает?» (По чему? – По воздуху). Но наш вопрос не совсем такого рода. Если хорошенько подумать, то на него можно дать разумный, вполне обоснованный ответ.

Какой?

8. Закат Луны.

Вы видите на рис. 3 тропический ландшафт со странным изображением лунного серпа у горизонта.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 3. Закат Луны: все ли правильно на рисунке?

Правильно ли нарисована эта картинка? Нет ли здесь какой-нибудь несообразности?

9. Броненосец.

Броненосец водоизмещением в 20 000 тонн… Но вы, быть может, не знаете, что такое «водоизмещение» и что такое «тонна»? Водоизмещением называют вес той воды, которую судно вытесняет, когда плавает. А так как плавающее тело, по закону Архимеда, вытесняет ровно столько воды, сколько оно весит, то «водоизмещение» прямо указывает вес самого судна. А что такое «тонна»? Мера веса в 1000 килограммов. Когда вы читаете, что судно имеет «водоизмещение в 20 000 тонн», это значит, что оно само (как и вода, вытесняемая им при плавании) весит 20 000 тонн.

Итак, броненосец водоизмещением в 20 000 тонн, стоявший раньше в Архангельске, прибыл в экваториальные воды. Известно, что с приближением к экватору все тела становятся легче; разница в весе на широте Архангельска и на экваторе равна 1/ 250, т. е. гиря в 1 килограмм из Архангельска, перенесенная на экватор, будет весить на 4 грамма меньше.

Можете ли вы сказать, сколько тонн воды будет вытеснять наш броненосец в экваториальных водах?

10. Пароход и пловец на Луне.

На Луне все вещи весят в 6 раз меньше, чем на Земле, так как Луна в 6 раз слабее притягивает к себе тела, чем наш земной шар. Килограмм, перенесенный на Луну, весил бы там всего 160 граммов.

Вообразите, что на Луне существует озеро с пресной водой. На озеро спущен пароход, который в земных пресноводных озерах имеет осадку 3 метра. Как глубоко будет сидеть наш пароход в воде лунного озера?

Заодно решите еще и такую задачу: где не умеющий плавать человек может утонуть скорее – в земном озере или в нашем воображаемом лунном?

Решения задач 1-10.

1. Место на Земле, откуда во все стороны горизонта простирается юг – это… Северный полюс! И действительно: ведь Северный полюс есть самая северная точка земного шара, и, следовательно, все точки в его окрестности лежат южнее. Когда отважный полярный путешественник Пири в 1912 году водружал в этом пункте английский флаг, их со всех сторон окружал юг: «везде и всюду нескончаемый юг».

2. Не 6 часов, а гораздо меньше, и вот почему. Между Нью-Йорком и Сан-Франциско разница во времени 3 1/ 4часа. Когда нью-йоркские банки открываются, т. е. в 10 часов утра, тогда в Сан-Франциско еще спят: там без четверти 7 часов утра. И только в четверть второго конторский служащий Нью-Йорка может позвать к телефону своего товарища из Сан-Франциско, где сейчас только открылись двери контор. В 4 часа нью-йоркские служащие уже покидают конторы, и жители Сан-Франциско не могут вызвать их по телефону, хотя в этом городе всего только без четверти час. Таким образом, деловые учреждения этих двух городов могут разговаривать между собой в дневное время по 2 1/ 4часа, хотя открыты в течение 6 часов.

А если бы существовал телефон между Ленинградом и Петропавловском, то им почти совсем невозможно было бы пользоваться! Между этими городами разница во времени 10 часов, так что, когда ленинградцы бодрствуют, петропавловцы спят, и наоборот. Приходилось бы вставать по ночам, чтобы разговаривать по этому междугородному телефону.

3. В Москве пробило двенадцать – только что наступил понедельник; на запад от Москвы всюду простирается еще воскресенье, а на восток – понедельник. Но на шарообразной Земле восток и запад неизбежно должны встретиться; значит, где-то должна быть граница, отделяющая воскресенье от понедельника.

Эта граница существует в самом деле и называется «линией даты»; она проходит через Берингов пролив и тянется по водам Тихого океана в виде изломанной линии, точное направление которой определено международными соглашениями.

На этой воображаемой линии, прорезающей безлюдные пустыни Тихого океана, и совершается впервые на земном шаре смена дней недели, месяцев, лет. Здесь как бы помещаются входные двери нашего календаря: отсюда приходят на землю воскресенья и понедельники, январи и феврали, здесь же находится колыбель Нового года. Здесь раньше, чем где бы то ни было на земном шаре, наступает каждый новый день недели; родившись, он движется на запад, обегает весь земной шар и снова возвращается к месту своего рождения – на этот раз, чтобы соскользнуть с поверхности нашей планеты и исчезнуть в вечности.

Из стран всего мира наша страна раньше всех принимает на свою территорию каждый новый день: на мысе Дежнева каждое утро «воскресенье», только что родившееся в водах Берингова пролива, вступает в населенный мир, чтобы начать свое шествие через все части света. И здесь же, у восточной оконечности русской Азии, дни умирают, исполнив свою 24-часовую службу.

Некогда Карл V хвастался тем, что в его владениях не заходит Солнце. Мы с большим правом могли бы гордиться тем, что владеем колыбелью нарождающихся дней; в пределах России совершается смена одного дня недели другим на суше.

Итак, вот где происходит смена дней недели. Что же делают мореплаватели, когда пересекают эту «линию даты»? Чтобы не сбиваться в счете дней подобно спутникам Магеллана, моряки пропускают один день недели, если едут с востока на запад; когда же пересекают «линию даты» с запада на восток, то дважды считают один и тот же день недели, т. е. после воскресения опять празднуют воскресенье. Вот почему невозможны в действительности истории, рассказанные Эдгаром По в «Трех воскресеньях на одной неделе» и Жюлем Верном в романе «Вокруг света в 80 дней».

4. Перегнать Землю в ее суточном вращении вокруг оси вполне возможно на современном гоночном автомобиле, пробегающем свыше 200 километров в час (55 метров в секунду), или, еще лучше, на аэроплане, который может лететь со скоростью 300 километров в час и более. Конечно, этого нельзя сделать на экваторе, точки которого движутся со скоростью 460 метров в секунду. Но это вполне возможно уже на 83 широты и севернее. Здесь автомобилист, мчащийся в своем моторе с востока на запад, будет видеть солнце неподвижно висящим в небе и не приближающимся к закату [4].

Земля, конечно, продолжает вращаться, но автомобилист будет отъезжать на столько же в обратную сторону и, следовательно, по отношению к Солнцу будет оставаться неподвижным.

При еще большей скорости автомобилист мог бы перегнать Землю и увидеть новое чудо: Солнце, восходящее не с востока, а с запада! Земля под колесами автомобиля будет вращаться по-прежнему с запада на восток, но сам автомобиль будет двигаться вокруг земной оси с востока на запад.

5. Несообразность рисунка состоит в том, что лунный серп обращен своей выпуклой стороной не к Солнцу, а от Солнца. Ведь Луна освещается Солнцем, значит, она никак не может быть обращена к нему своей неосвещенной стороной…

«Большинство живописцев, – замечает по этому поводу известный французский астроном Фламмарион, – не знают этого, потому что не проходит года, чтобы в Парижском Салоне (зал для выставок) не появлялось большого числа лун в обратном положении».

6. Явная несообразность турецкого флага заключается в том, что звезда на изображении слишком близко придвинута к лунному серпу. В таком положении Луна и звезда на небе быть не могут. Луна не прозрачна, сквозь нее нельзя видеть звезды; значит, никакая звезда не может сиять внутри круга Луны.

На рис. 4 показано, как должны быть расположены лунный серп и звезда, чтобы картина соответствовала действительности.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 4. Звезда не может быть расположена так, как на турецком флаге: Луна не прозрачна.

Надо отодвинуть звезду от наружного края серпа больше, чем на целый поперечник Луны. А между тем на турецком флаге звезда сияет как раз между рогами месяца!

7. Из всех мест земного шара легче всего живется, конечно, на экваторе – по той простой причине, что там все предметы становятся легче.

Паровоз, весящий в Москве 60 тонн, становится по прибытии в Архангельск на 60 килограммов тяжелее, а в Одессе – на столько же легче.

Кто же похищает у паровоза эти 60 килограммов? Главным образом – «центробежная сила»; она уменьшает вес всякого тела близ экватора на 1/ 250долю по сравнению с его весом у полюсов. А так как земной шар у экватора немного вздут, т. е. поверхность Земли находится там дальше от центра планеты, чем на полюсе, то это еще немного уменьшает вес предметов. В общей сложности, потеря веса на экваторе достигает 1/ 250от веса того же тела на полюсе.

На этом основании какой-то затейник объявил однажды, что знает способ вполне законно и честно обвешивать покупателей. Секрет состоит в том, чтобы покупать товары в экваториальных странах, а продавать их поближе к полюсам. Килограмм, будучи перенесен с экватора на полюс, прибавит в весе на целых 5 граммов – если только пользоваться для взвешивания не весами с коромыслом, а пружинными (и притом непременно своего «южного» изготовления). Иначе, конечно, никакой выгоды не получится: на весах с гирями товар станет тяжелее, но настолько же тяжелее сделаются и гири.

Едва ли можно разбогатеть на такой торговле, но по существу шутник прав, так как тяжесть действительно увеличивается с удалением от экватора, где «всего легче живется на свете».

8. Как ни странно, но лунный серп изображен на рисунке совершенно верно. Это тропическийландшафт, а под тропиками положение лунного серпа отличается от положения его в наших широтах. У нас молодой месяц обращен горбушкой вправо, а серп убывающей Луны – влево. В тропических же странах лунный серп висит на небе горизонтально.

Происходит это вот почему. В наших странах Солнце и Луна (и вообще все светила) при своем суточном движении по небу идут по наклонным кругам; поэтому вечером Солнце, освещающее Луну, находится под горизонтом в косом направлении:оно освещает Луну справа или слева, серп обращен влево или вправо. Для наблюдателя на экваторе же все светила движутся по вертикальным дугам; Солнце, освещающее Луну, расположено над горизонтом не справа или слева от нее, а под нею.Луна освещается снизу, и поэтому лунный серп имеет там форму гондолы, как изображено на нашем рисунке.

Кто живет на юге – в Крыму, на Кавказе, в Туркестане, – тот замечал, вероятно, что серп там нередко имеет на небе положение, сходное с изображенным на рисунке. Чем ближе к тропикам, тем более отвесно движутся светила по небу.

9. Перейдя из Белого моря в экваториальные воды, броненосец сделается на 1/ 250легче. Но ровно на столько же делается легче и вода: она тоже весит близ экватора на 1/ 250меньше, чем в Белом море. Значит, водоизмещение броненосца в течение всего времени плавания останется одним и тем же: 20 000 тонн.

10. Пароход сделался бы на Луне в 6 раз легче – но это вовсе не значит, что он будет гораздо мельче сидеть в лунном озере. Ведь и вода должна была бы на Луне весить в 6 раз меньше, чем на Земле. Плавающее тело вытесняет столько воды, сколько оно весит (закон Архимеда); следовательно, ничто не должно измениться в степени погружения парохода – он будет иметь осадку, равную тем же трем метрам.

Точно так же ничто не изменится и для пловца: его вес уменьшится во столько же раз, во сколько раз уменьшится вес вытесняемой им воды. А значит, плавучесть человека будет в лунном озере та же, что и в земном. Утонуть и там и здесь одинаково легко.

Примечания.

1.

Данные относятся к 1924 г. – Прим. ред.

2.

Козьмы Пруткова.

3.

Точнее, не перегнать, а отстать, т. е. двигаться по поверхности Земли в сторону, обратную ее движению, так быстро, чтобы увеличить для себя продолжительность суток.

4.

Человек может перегнать Землю и пешком – в 50 километрах от полюса.

Головоломки. Выпуск второй.

Задачи со спичками.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

1. Из шести три.

Перед вами (рис. 1) фигура, составленная из 17 спичек. Вы видите в ней 6 одинаковых квадратов. Задача состоит в следующем: нужно убрать 5 спичек, не перекладывая остальных, так, чтобы осталось всего 3 квадрата.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 1.

2. Оставить пять квадратов.

В решетке из спичек, представленной на рис. 2, нужно так убрать 4 спички, не трогая остальных, чтобы осталось 5 квадратов.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 2.

3. Оставить четыре квадрата.

Из той же фигуры (рис. 2) так извлеките 8 спичек, не трогая других, чтобы оставшиеся спички составили 4 одинаковых квадрата.

4. Оставить три квадрата.

В той же решетке (рис. 2) так уберите 6 спичек, не перекладывая остальных, чтобы осталось всего 3 квадрата.

5. Оставить два квадрата.

И наконец, в той же фигуре (рис. 2) так уберите 8 спичек, не трогая остальных, чтобы осталось всего лишь 2 квадрата.

6. Шесть четырехугольников.

В фигуре, представленной на рис. 3, нужно так переложить 6 спичек с одного места на другое, чтобы образовалась фигура, составленная из 6 одинаковых четырехугольников.

7. Из дюжины спичек.

Из 12 спичек нужно составить фигуру, в которой было бы три одинаковых четырехугольника и два одинаковых треугольника.

Как это сделать?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 3.

8. Из полутора дюжин.

Из 18 спичек нужно сложить два четырехугольника так, чтобы площадь одного была втрое больше площади другого. Спички, как и во всех предыдущих задачах, переламывать нельзя. Оба четырехугольника должны лежать обособленно, не примыкая друг к другу.

9. Два пятиугольника.

Если вам удалось решить предыдущую задачу, попытайтесь решить такую головоломку.

Из 18 спичек сложить два пятиугольника так, чтобы площадь одного была ровно втрое больше площади другого. Остальные условия те же, что и в предыдущей задаче.

10. Из 19 и из 12.

На рис. 4 вы видите, как можно 19 целыми спичками ограничить шесть одинаковых участков.

А можно ли ограничить шесть одинаковых участков – хотя бы и иной формы -12 целыми спичками?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 4.

Решения задач 1-10.

1. Решение этой задачи на рис. 5.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 5.

2—5. Решение задачи 2 показано на рис. 6, задачи 3 – на рис. 7 и 8, задачи 4 – на рис. 9, задачи 5 – на рис. 10.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 6.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 7.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 8.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 9.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 10.

6. Смотри на рис. 11.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 11.

7. Решение задачи 7 показано на рис. 12. Это равносторонний шестиугольник (но не правильный, поскольку его углы не равны).

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 12.

8. Решение этой задачи показано на рис. 13. Площадь верхней фигуры образуют два квадрата, каждый со сторонами в одну спичку. Нижний четырехугольник представляет собой параллелограмм, высота которого AB = 1 1/ 2спички. Площадь параллелограмма по правилам геометрии равна его основанию, умноженному на высоту: 4 х 1 1/ 2= 6, т. е. втрое больше площади верхнего четырехугольника.

9—10. Решения задач 9 и 10 наглядно показаны на рис. 14 и 15.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 13.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 14.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 15.

Задачи с квадратами.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

1. Пруд.

Имеется квадратный пруд (рис. 1). По углам его, близ самой воды, растет 4 старых развесистых дуба. Пруд понадобилось расширить: сделать вдвое больше по площади, сохранив квадратную форму. Но вековые дубы трогать не хотят. Можно ли расширить пруд до требуемых размеров так, чтобы все 4 дуба, оставаясь на своих местах, оказались на берегах нового пруда?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 1. Задача о пруде.

2. Паркетчик.

Паркетчик вырезал квадраты из дерева и проверял свою работу, сравнивая длины их сторон (рис. 2). Если все четыре стороны были равны, то он считал квадрат вырезанным правильно.

Надежна ли такая проверка?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 2.

3. Другой паркетчик.

Другой паркетчик проверял свою работу иначе. Он мерил не стороны квадратов, а их диагонали (т. е. те косые линии, которые, перекрещиваясь, соединяют углы фигуры). Если обе диагонали оказывались равными, паркетчик считал квадрат вырезанным правильно.

Вы тоже думаете, что такая проверка правильна?

4. Третий паркетчик.

Третий паркетчик при проверке квадратов убеждался в том, что все 4 части, на которые диагонали разделяют друг друга (рис. 3), равны между собой. По его мнению, это доказывало, что вырезанный четырехугольник есть квадрат. Прав ли он?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 3.

5. Белошвейка.

Белошвейке нужно отрезать от полотна несколько квадратных кусков. Свою работу она проверяет тем, что перегибает четырехугольный кусок по диагонали и смотрит, совпадают ли его края. Если совпадают, значит, решает она, отрезанный кусок имеет в точности квадратную форму.

Так ли это?

6. Еще белошвейка.

Подруга нашей белошвейки не довольствовалась описанным способом проверки. Отрезанный четырехугольник она перегибала сначала по одной диагонали, затем, расправив полотно, – по другой. И только если края фигуры совпадали в обоих случаях, считала квадрат вырезанным правильно.

Что вы скажете о такой проверке?

7. Затруднение столяра.

У молодого столяра имеется пятиугольная доска, изображенная на рис. 4. Вы видите, что она как бы составлена из квадрата и приложенного к нему треугольника, который вчетверо меньше этого квадрата. Столяру нужно, ничего не убавляя от доски и ничего к ней не прибавляя, превратить ее в квадратную. Для этого необходимо, конечно, доску предварительно распилить на части. Столяр так и намерен сделать, но он желает распилить доску не более чем по двум прямым линиям.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 4. Затруднение столяра.

Возможно ли двумя прямыми линиями разрезать нашу фигуру на такие части, из которых можно было бы составить квадрат? И если возможно, то как это сделать?

8. Все человечество внутри квадрата.

В настоящее время (1924 г.) на всем земном шаре насчитывается 1800 миллионов человек: 1 800 000 000.

Представьте, что все люди, живущие на свете, собрались толпой на каком-то ровном месте. Вы хотите поместить их на квадратном участке, отводя по квадратному метру на каждые 20 человек (плотно прижавшись друг к другу, 20 человек смогут поместиться на таком квадрате).

Попробуйте, не вычисляя, прикинуть, квадрат какого размера понадобился бы для этого. Достаточно ли будет, например, квадрата со стороной 100 км?

9. Сомнительные квадраты.

Учитель черчения задал школьнику работу: начертить два равных квадрата и заштриховать их. Школьник выполнил работу так, как показано на рис. 5. Он был уверен, что это квадраты и притом равные.

Почему он так думал?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 5.

10. Темные пятна.

Другой школьник должен был начертить несколько рядов черных квадратов, разделенных белыми полосками. Вот как он выполнил эту работу – рис. 6.

Вы видите, однако, что близ углов квадратов, в том месте, где пересекаются белые полоски, имеются темноватые пятна. Школьник уверял, что он их не делал.

Откуда же они взялись?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 6.

Решения задач 1-10.

1. Расширить площадь пруда вдвое, сохранив его квадратную форму и не тронув дубов, вполне возможно. На рис. 7 показано, как это сделать: надо копать так, чтобы дубы оказались против середины сторон нового квадрата. Легко убедиться, что по площади новый пруд вдвое больше имевшегося: достаточно провести диагонали в прежнем пруде и вычислить площадь образующихся при этом треугольников.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 7.

2. Такая проверка недостаточна. Четырехугольник мог выдержать это испытание, и не будучи квадратом. Вы видите на рис. 8 примеры четырехугольников, у которых все стороны равны, но углы не прямые. В геометрии фигуры с четырьмя равными сторонами называются ромбами.Каждый квадрат есть ромб, но не каждый ромб есть квадрат.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 8.

3. Эта проверка так же ненадежна, как и первая. Конечно, диагонали квадрата равны, но – как видно из фигур, представленных на рис. 9, – не всякий четырехугольник с равными диагоналями есть квадрат.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 9.

Паркетчикам следовало бы применять к каждому вырезанному четырехугольнику обе проверки сразу – тогда они были бы уверены, что работа сделана правильно. Всякий ромб, у которого диагонали между собой равны, есть непременно квадрат.

4. Проверка могла показать только то, что четырехугольник имеет прямые углы, т. е. что он прямоугольник. Но равны ли его стороны – этого проверка не удостоверяла (рис. 10).

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 10.

5. Проверка недостаточна. На рис. 11 начерчено несколько четырехугольников, края которых при перегибании по диагонали совпадают. И все-таки это не квадраты.

Такая проверка позволяет убедиться только в том, что фигура симметрична, но не более.

6. Эта проверка не лучше предыдущей. Вы можете вырезать из бумаги сколько угодно четырехугольников, которые выдержат эту проверку, хотя они и не являются квадратами (рис. 12). У них все стороны равны, но углы не прямые, так что это ромбы.

Чтобы действительно убедиться, квадратной ли формы отрезанный кусок, нужно, кроме того, проверить, равны ли его диагонали (или углы).

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 11.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 12.

7.Одна линия должна идти от вершины ск середине стороны de,другая – от середины этой стороны к вершине а.Из полученных трех кусков – 1, 2 и 3 – составляется квадрат, как показано на рис. 13.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 13.

8. Сторона квадрата должна быть раз в десять меньше 100 км. Действительно, квадрат со стороною 10 км заключает 10 000 × 10 000 = 100 000 000. Если на каждом квадратном метре расположить 20 человек, то квадрат указанных размеров вместит 100 000 000 × 20 = 2 000 000 000, а это больше 1 800 000 000, т. е. населения земного шара.

Итак, чтобы поместить все человечество, достаточен квадрат со стороной менее 10 километров.

9. Квадраты действительно равны.

10. Темных пятен никто не делал, и в действительности их нет. Мы видим их только из-за обмана зрения.

Задачи о часах.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

1. Когда стрелки встречаются?

В 12 часов одна стрелка совпадает с другой. Но вы замечали, вероятно, что это не единственный момент, когда стрелки часов встречаются: они настигают друг друга в течение дня несколько раз.

Можете ли вы указать все те моменты, когда это случается?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 1.

2. Когда стрелки направлены врозь?

В 6 часов, наоборот, стрелки направлены в противоположные стороны. Но только ли в 6 часов это бывает или есть и другие моменты, когда стрелки так расположены?

3. В котором часу?

В котором часу минутная стрелка опережает часовую ровно на столько, на сколько часовая не доходит до числа 2 на циферблате (рис. 2)? А может быть, таких моментов бывает несколько за день? Или ни одного?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 2.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 3.

4. Наоборот.

Если вы внимательно наблюдали за часами, то, быть может, вам случалось видеть и обратное расположение стрелок: часовая стрелка опережает минутную на столько же, на сколько минутная продвинулась вперед от числа 12 (рис. 3). Когда это бывает?

5. По обе стороны от шести.

Я взглянул на часы и заметил, что стрелки находятся по обе стороны от цифры 6 и отстоят от нее одинаково. В котором часу это было?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 4.

6. Три и семь.

Часы бьют три, т. е. делают три удара, и пока они бьют, проходят три секунды. За сколько времени часы пробьют семь?

На всякий случай предупреждаю, что эта задача – не шутка и никакой ловушки здесь нет.

7. Часы-компас.

Теперь за границей не редкость карманные часы, циферблат которых разделен не на 12, а на 24 части, с обозначением от 1 до 24 часов. Часовая стрелка таких часов описывает полный круг не за 12, а за 24 часа (рис. 5).

Такие часы можно в ясные дни использовать как компас.

Каким образом?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 5.

8. О том же.

Нельзя ли, за неимением компаса, воспользоваться нашими обыкновенными карманными часами, чтобы в ясный день определять по ним, хотя бы приблизительно, стороны света?

9. Цифра шесть.

Спросите кого-нибудь из ваших знакомых постарше, как давно он обладает карманными часами. Положим, окажется, что часы у него уже 15 лет. Продолжайте тогда разговор примерно в таком духе:

– А сколько раз в день вы обычно смотрите на свои часы?

– Раз двадцать, вероятно, или около того, – последует ответ.

– Значит, в течение года вы смотрите на свои часы не менее 6000 раз, а за 15 лет видели их циферблат 6000 × 15, т. е. чуть ли не сто тысяч раз. Вы, конечно, знаете и отлично помните вещь, которую видели сто тысяч раз?

– Ну, разумеется!

– Вам поэтому прекрасно должен быть известен циферблат ваших карманных часов, и вы не затруднитесь изобразить на память, как обозначена на нем цифра шесть.

И вы предлагаете собеседнику бумажку и карандаш.

Он исполняет вашу просьбу, но… изображает цифру шесть в большинстве случает совсем не так, как она обозначена на его часах.

Почему? Ответьте на этот вопрос, не глядя на ваши карманные часы.

10. Тиканье часов.

Положите свои карманные часы на стол, отойдите шага на три или четыре и прислушайтесь к их тиканью. Если в комнате достаточно тихо, то вы услышите, что ваши часы идут словно с перерывами: то тикают короткое время, то на несколько секунд замолкают, то снова начинают идти и т. д.

Чем объясняется такой неравномерный ход?

Решения задач 1-10.

1. Начнем наблюдать за движением стрелок в 12 часов. В этот момент одна стрелка покрывает другую. Так как часовая стрелка движется в 12 раз медленнее минутной (она описывает полный круг за 12 ч, а минутная за 14 ч), то в течение ближайшего часа стрелки, конечно, встретиться не могут. Но вот прошел час; часовая стрелка стоит у цифры 1, сделав 1/ 12долю полного оборота; минутная же сделала полный оборот и стоит у 12 – на 1/ 12долю круга позади часовой. Теперь условия состязания иные, чем раньше: часовая стрелка движется медленнее минутной, но она впереди, и минутная должна ее догнать. Если бы состязание длилось целый час, то за это время минутная стрелка прошла бы полный круг, а часовая – 1/ 12круга» т. е. минутная сделала бы на 1/ 12круга больше. Но чтобы догнать часовую стрелку, минутной нужно пройти больше, чем часовой, только на ту 1/ 12долю круга, которая их отделяет. Для этого потребуется времени не целый час, а меньше во столько раз, во сколько 1/ 12меньше 1/ 11т. е. в 11 раз. Значит, стрелки встретятся через 1/ 11ч, т. е. через 60/11 = 5/ 11мин.

Итак, встреча стрелок случится спустя 5 1/ 11мин после часа дня, т. е. в 5 1/ 11мин второго.

Когда же произойдет следующая встреча?

Нетрудно сообразить, что это случится через 1 час 5 1/ 11мин, т. е. в 2 ч 10 1/ 2мин. Следующая – спустя еще 1 час 5 5/ 11мин, т. е. в 3 ч 16 4/ 11мин, и т. д. Всех встреч, как легко видеть, будет 11; последняя наступит через 1 1/ 11× 11 = 12 ч после первой, т. е. в 12 ч; другими словами, очередная встреча стрелок совпадает с самой первой и дальнейшие встречи повторятся снова в известные моменты.

Вот полный перечень встреч:

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый. Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

2. Эта задача решается весьма сходно с предыдущей. Начнем опять с 12 ч, когда положение стрелок одинаково. Нужно вычислить, сколько времени потребуется для того, чтобы минутная стрелка обогнала часовую ровно на полкруга – тогда стрелки и будут направлены как раз в противоположные стороны. Мы уже знаем (см. предыдущую задачу), что в течение целого часа минутная стрелка обгоняет часовую на 1/ 11 полного круга; чтобы обогнать ее всего на 1/ 2круга, понадобится меньше времени, чем целый час. Причем, во столько раз, во сколько 1/ 2меньше 1/ 12, т. е. потребуется всего 6/ 11ч. Значит, после 12 часов стрелки в первый раз располагаются одна против другой спустя 6/ 11ч, или 32 8/ 11мин. Взгляните на часы, когда стрелки направлены в противоположные стороны.

Единственный ли это момент, когда стрелки так расположены? Конечно, нет. Такое положение стрелки занимают спустя 32 8/ 11минуты после каждой встречи.А мы уже знаем, что встреч бывает 11 в течение двенадцати часов; значит, и располагаются стрелки врозь тоже 11 раз в течение 12 часов. Найти эти моменты нетрудно:

12 ч + 32 8/ 11мин = 12 ч 32 8/ 11мин,

1 ч 5 5/ 11мин + 32 8/ 11мин = 1 ч 38 7/ 11мин,

2 ч 10 10/ 11мин + 32 8/ 11мин = 2 ч 43 7/ 11мин,

3 ч 16 1/ 11мин + 32 8/ 11мин = 3 ч 49 1/ 11 мин и т. д.

Вычислить остальные моменты предоставляю вам самим.

3. Если начать наблюдение за стрелками ровно в 12 часов, то в течение первого часа мы искомого расположения не заметим. Почему? Потому что часовая стрелка проходит 1/ 12того, что проходит минутная, и, следовательно, отстает от нее гораздо больше, чем требуется. На какой бы угол ни отошла от 12 минутная стрелка, часовая повернется на 1/ 12этого угла, а не на 1/ 2, как нам требуется. Но вот прошел час; теперь минутная стрелка стоит у 12, часовая – у 1, на 1/ 12полного оборота впереди минутной. Посмотрим, не может ли такое расположение стрелок наступить в течение второго часа. Допустим, что момент этот наступил тогда, когда часовая стрелка отошла от цифры 12 на долю полного оборота, которую мы обозначим через х.Минутная стрелка успела к этому времени пройти в 12 раз больше, т. е. 12 × х.Если вычесть отсюда один полный оборот, то остаток 12 × х –1 должен быть вдвое больше, чем х,т. е. равняться 2 × х.

Итак, 12× х – 1 = 2× х,откуда следует, что 1 целый оборот равен 10 × х(действительно, 12× х-10× х = 2× х).Но если 10 × х = =целому обороту, то х = 1/ 10части оборота. Вот и решение задачи: часовая стрелка отошла от цифры 12 на 1/ 10полного оборота, на что требуется 12/ 10ч, или 1 ч 12 мин. Минутная стрелка при этом будет вдвое дальше от 12, т. е. на расстоянии 1/ 5оборота; это соответствует 60/5 = 12 мин – как и должно быть.

Мы нашли одно решение задачи. Но есть и другие: стрелки в течение двенадцати часов располагаются таким же образом не один раз, а несколько. Попытаемся найти остальные решения.

Для этого дождемся двух часов; минутная стрелка стоит у 12, а часовая – у 2. Рассуждая, как прежде, получаем равенство.

12 × х– 2 = 2 × х,

Откуда 2 целых оборота равны 10 × хи, значит, х = 1/ 5целого оборота. Часы будут показывать при этом 12/ 5= 2 ч 24 мин.

Дальнейшие моменты читатель легко вычислит сам и найдет, что стрелки располагаются согласно требованию задачи в следующие 10 моментов:

В 1 ч 12 мин.

В 2 ч 24 мин.

В 3 ч 36 мин.

В 4 ч 48 мин.

В 6 ч.

В 7 ч 12 мин.

В 8 ч 24 мин.

В 9 ч 36 мин.

В 10 ч 48 мин.

В 12 ч.

Ответы: «в 6 часов» и «в 12 часов» могут показаться неверными, – но только с первого взгляда. Действительно, в 6 часов часовая стрелка стоит у 6, минутная – у 12, т. е. ровно вдвое дальше от начальной отметки 12 (успев описать один оборот). В 12 же часов часовая стрелка удалена от 12 на нуль, а минутная, если хотите, на «два нуля» (потому что двойной нуль – то же, что и нуль); значит, и этот случай, в сущности, удовлетворяет условию задачи.

4.После сделанных разъяснений решить эту задачу нетрудно. Рассуждая, как прежде, легко сообразить, что в первый раз требуемое расположение стрелок будет в тот момент, который определяется равенством.

12 × х –1 = х/2,

Откуда 1 = 11 1/ 2× х,или х = 2/ 23; целого оборота, т. е. стрелки будут расположены требуемым образом через 1 1/ 23ч после 12, т. е. в 1 ч 2 14/ 23мин минутная стрелка должна стоять посредине между 12 и 1 1/ 23часами, т. е. на 12/ 23часа, что как раз и составляет 1/ 23полного оборота (часовая стрелка к этому моменту пройдет 2 / 23полного оборота).

Второй раз стрелки расположатся требуемым образом в момент, который определится из равенства.

12 × х – 2 = х/2,

Откуда 2 = 11 1/ 2× х,или х = 4/ 23; искомый момент – 2 ч 5 5/ 23мин.

Третий искомый момент – 3 ч 7 19/ 23мин и т. д.

5. Эта задача решается так же, как и предыдущая. Вообразим, что обе стрелки стояли у 12, и затем часовая отошла от 12 на некоторую часть полного оборота, которую мы обозначим буквой х. Минутная стрелка за это время успела повернуться на 12х х.Если времени прошло не больше одного часа, то для удовлетворения требованию нашей задачи необходимо, чтобы минутная стрелка не дошла до конца полного оборота столько же, сколько часовая стрелка успела пройти от начала; другими словами.

1 – 12 × х = х.

Отсюда 1 = 13 × х(потому что 13 × х -12 × х = х).Следовательно, х= 1/ 13доле полного оборота. Такую долю оборота часовая стрелка проходит за 12/ 13ч и показывает 55 5/ 13мин первого. Минутная же стрелка за это время прошла в 12 раз больше, т. е. 12/ 13полного оборота. А значит, обе стрелки отстоят от отметки 12 одинаково и, следовательно, одинаково отодвинуты и от отметки 6, находясь от нее по разные стороны.

Мы нашли одно положение стрелок – именно то, в котором они оказываются в течение первого часа. В течение второго часа подобное расположение стрелок возникает еще раз; мы найдем его, рассуждая прежним образом, из равенства.

1 – (12 × х –1) = х,или 2 – 12 × х = х,

Откуда 2 = 13 × х(поскольку 13 × х –12 × х = х),следовательно, х= 2/ 13полного оборота. В таком положении стрелки будут в 1 11/ 13 3 ч, т. е. в 50 10/ 13мин второго.

В третий раз стрелки займут требуемое положение, когда часовая стрелка отойдет от 12 на 3/ 13полного круга, т. е. в 2 10/ 13часа, и т. д. Всех положений 11, причем после 6 часов стрелки меняются местами: часовая стрелка занимает те положения, в которых раньше была минутная, а минутная – те положения, которые раньше занимала часовая.

6. Обычно отвечают: «7 секунд». Но такой ответ, как сейчас увидим, неверен.

Когда часы бьют три, мы слышим две паузы:

1) между первым и вторым ударом;

2) между вторым и третьим ударом. Обе паузы длятся 3 с, значит, каждая продолжается вдвое меньше – 1 1/ 2с.

Когда же часы бьют семь, то таких пауз бывает 6. Шесть раз по полторы секунды составляют 9 с. Следовательно, часы бьют семь, т. е. делают 7 ударов за 9 с.

7.Солнце при своем кажущемся суточном движении описывает полный круг за 24 часа, т. е. за столько же времени, что и часоваястрелка упомянутых заграничных часов. Поэтому, если в полдень, т. е. в 12 часов дня, расположить циферблат карманных часов так, чтобы часовая стрелка была направлена на Солнце, то эта стрелка, двигаясь вместе с Солнцем, будет все время указывать на дневное светило.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 6. Часы в роли компаса.

Отсюда вытекает простой способ отыскивать с помощью часов (конечно, только днем, в безоблачную погоду) то место, где Солнце бывает в полдень, т. е. находить направление на юг. Для этого нужно расположить циферблат так, чтобы часовая стрелка «смотрела» на Солнце; тогда направление на цифры 12 укажет, где было солнце в 12 часов, т. е. направление на юг.

8. Часовая стрелка обыкновенных часов описывает полный круг не за 24, а за 12 часов, т. е. движется вдвое медленнее, чем Солнце по небу. Отсюда легко сообразить (см. предыдущую задачу), как найти направление на юг с помощью обыкновенных карманных часов.

Нужно расположить их так, чтобы часовая стрелка была направлена на Солнце, и разделить пополам (на глаз) угол между часовой стрелкой и направлением на цифру 12. Линия, делящая этот угол пополам, покажет, где солнце было в полдень, т. е. точку юга.

9. Большинство людей в ответ на вопрос нашей задачи рисуют 6 или 9, либо VI или IX.

Это говорит о том, что можно видеть вещь сто тысяч раз и все-таки не знать ее. Дело в том, что обычно на циферблате (мужских часов) цифры шесть вовсе нет – на ее месте помещается секундник (рис. 7).

10. Загадочные перерывы в тиканьи часов объясняются утомлением слуха. Наш слух притупляется на несколько секунд, и в эти промежутки мы не слышим тиканья.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 7.

Спустя короткое время утомление проходит и прежняя чуткость восстанавливается, тогда мы снова слышим ход часов. Затем наступает опять утомление, и т. д.

Десять разных задач.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

1. Горизонт.

Часто приходится читать и слышать, будто одно из убедительных доказательств шарообразности Земли заключается в том, что линия горизонта повсюду имеет форму окружности, а коль скоро это так, отсюда делается вывод, что Земля наша должна быть шаром.

Подумайте, однако, какую форму имела бы линия горизонта, если бы Земля была не шарообразной, а плоской и бесконечно простиралась бы во все стороны?

2. Где и когда?

Вам, вероятно, знаком бессмысленный стишок:

Рано утром, вечерком, В полдень, на рассвете…

Неведомый слагатель этих стихов стремился выразить ими заведомую нелепость и подбирал слова, которые противоречили бы одно другому.

Между тем приведенная фраза не совсем бессмысленна; на Земле существуют места, где такое определение времени применительно к некоторому реальному моменту вполне верно.

Где и когда это бывает?

3. Рост Эзопа [1].

«Уверяют, что Эзопова голова была длиной 7 дюймов, а ноги так длинны, как голова и половина туловища; туловище же равно длине ног с головою.

Спрашивается рост сего славного человека».

4. Пять обрывков цепи.

Кузнецу принесли пять цепей, по три звена в каждой (рис. 1), и велели соединить их в одну цепь.

Прежде чем приняться за дело, кузнец стал думать о том, сколько колец понадобится для этого раскрыть и вновь заковать. Он решил, что четыре.

Нельзя ли, однако, выполнить ту же работу, раскрыв меньше колец?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 1. Обрывки цепи.

5. Четырьмя пятерками.

Нужно выразить число 16 с помощью 4 пятерок, соединяя их знаками действий. Как это сделать?

6. Вишня.

Мякоть вишни окружает ее косточку слоем толщиной в косточку. Будем считать, что и вишня, и косточка имеют форму шариков. Сообразите в уме, во сколько раз объем сочной части вишни больше объема косточки?

7. Дыни.

Продаются две дыни. Одна – окружность 72 см – стоит 40 рублей. Другая – окружность 60 см – стоит 25 рублей.

Какую дыню выгоднее купить?

8. Удивительная затычка.

В доске выпилены три отверстия: одно – квадратное, другое – круглое, третье – в форме креста (рис. 2).

Нужно изготовить затычку такой формы, чтобы она годилась для всех этих отверстий.

Вам кажется, что такой затычки быть не может: отверстия чересчур разнообразны по форме. Могу вас уверить, что подобная затычка существует. Попытайтесь найти ее.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 2. Какой затычкой можно заткнуть все эти дыры?

9. Модель башни Эйфеля.

Башня Эйфеля в Париже, высотой 300 м, из железа, которого пошло на нее 8 000 000 кг. У моего знакомого есть точная модель знаменитой башни, весящая всего только один килограмм.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 3.

Какой она высоты? Выше стакана или ниже?

10. Муха на ленте.

Я взял длинную бумажную ленту, с одной стороны красную, с другой – белую, склеил ее концы и получившееся бумажное кольцо положил на стол.

Мое внимание привлекла муха, севшая на красную сторону ленты и начавшая странствовать по ней. Я стал следить за ее путешествием вдоль ленты и, к изумлению, заметил, что, побродив немного по ленте, она очутилась на противоположной, белой стороне, хотя все время оставалась на ленте и ни разу не переползла через ее край. Продолжая следить за мухой, я вскоре увидел, что она снова оказалась на красной стороне ленты, хотя – могу это утверждать – не покидала ленты, не переступала и не перелетала через ее края.

Не объясните ли вы, как могло это случиться?

Решения задач 1-10.

1. Даже если бы Земля была совершенно плоской, линия горизонта была бы окружностью!

Действительно, что такое горизонт? Воображаемая линия, по которой небесный свод пересекается с Землей. Но небесный свод имеет форму шаровой поверхности. По какой же другой линии шаровая поверхность может пересекаться с плоскостью, как не по окружности.

Итак, круглая форма горизонта сама по себе еще не доказывает, что Земля кругла!

2. Где? – За полярным кругом.

Когда? – 21 декабря, около 12 часов дня, когда зимнее солнце лишь на мгновение показывается над горизонтом, чтобы тотчас же скрыться снова.

Действительно, тот момент есть «утро», так как совпадает с восходом солнца, но в то же время и вечер, так как совпадает с заходом солнца. Безусловно, это и полдень – 12 часов дня, и, конечно, рассвет, так как, пока солнце еще не выйдет над горизонтом, длится утренняя заря. Итак, это – «рано утром, вечерком, в полдень, на рассвете».

3. Мы знаем из условия задачи, что длина ног Эзопа равна 7 дюймам (голова) плюс длина половины туловища. Известно еще, что длина туловища равна длине ног плюс 7 дюймов, откуда длина ног равна длине туловища без 7 дюймов. Значит:

1/ 2 длины туловища + 7 дюймов =длина туловища – 7 дюймов.

Таким образом, туловище длиннее 1/ 2туловища на 14 дюймов, откуда 1/ 2туловища равна 14 дюймам, а все туловище – 28 дюймам. Прибавив длину головы и ног, т. е. туловища, равного 28 дюймам, получим рост Эзопа: 56 дюймов, или 2 аршина.

4. Достаточно разогнуть три кольцаодной цепи, и полученными кольцами можно соединить концы остальных четырех.

5. Существует только один способ:

55: 5 + 5 = 16.

6. Толщина слоя мякоти равна поперечнику косточки. Значит, поперечник вишни в 3 раза больше поперечника косточки. Отсюда объем вишни больше объема косточки в З × З × З = 27 раз. И следовательно, объем мякоти больше объема косточки в 27 – 1 = 26 раз.

7. Окружность большой дыни (72 см) превышает окружность меньшей (60 см) в 24/ 20, т. е. в 1 1/ 5раза. Таково же и отношение ее поперечника к поперечнику меньшей дыни. Значит, по объему первая дыня больше второй в.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Если меньшая дыня стоит 25 рублей, то большая должна стоить 25 × 216: 125 = 216: 5 = 43 руб. 20 коп., между тем ее продают всего за 40 руб. Ясно, что ее купить выгоднее, чем меньшую.

8. Затычка искомой формы изображена на рис. 4. Вы можете заткнуть ею и квадратное, и круглое, и крестообразное отверстие.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 4.

9. Модель весом 1 кг гораздо выше стакана, потому что, как это ни неожиданно, она имеет высоту 1 1/ 2метра! В самом деле, модель меньше самой башни по объему во столько раз, во сколько 1 кг меньше 8 000 000 кг, т. е. в 8 000 000 раз. Значит, высота модели меньше высоты башни в такое число раз, которое, будучи дважды умножено само на себя, составит 8 000 000. Этому условию удовлетворяет число 200. Разделив высоту Эйфелевой башни, 300 метров, на 200, получим 1 1/ 2метра. Результат довольно странный. 1/ 2-метровое железное изделие весит всего 1 кг. Это объясняется тем, что Эйфелева башня – при своих больших размерах, сооружение необыкновенно легкое, как говорят, ажурное.

10. Загадка объясняется тем, что один конец ленты, прежде чем приклеить его к другому, один раз повернули. Легко убедиться на опыте, что тогда получается кольцо, ползая по которому, муха может обойти обе его стороны, ни разу не переступая через края.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 5.

Еще десять задач.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

1. Кто больше?

Двое человек считали в течение часа всех прохожих, которые проходили мимо них по тротуару. Один из считавших стоял у ворот дома, другой – прохаживался вперед и назад по тротуару.

Кто насчитал больше прохожих?

2. Возраст сына.

Сейчас мой сын моложе меня втрое. Но пять лет назад он был моложе меня в четыре раза. Сколько ему лет?

3. Состязание.

Две парусные лодки участвуют в состязании: требуется преодолеть 24 версты туда и обратно в кратчайшее время. Первая лодка прошла весь путь с равномерной скоростью 20 верст в час; вторая двигалась туда со скоростью 16 верст в час, а обратно – со скоростью 24 версты в час.

Победила на состязании первая лодка, хотя, казалось бы, вторая лодка должна была при движении в одном направлении отстать от первой ровно на столько, на сколько она опередила ее на обратном пути и, следовательно, прийти одновременно с первой. Почему же она проиграла?

4. По реке и по озеру.

Плывя вниз по реке, гребец преодолевает 5-верстное расстояние за 10 мин. Возвращаясь, он проплывает то же расстояние за один час. Следовательно, 10 верст он проплывает за 1 ч 10 мин.

А сколько времени ему понадобится, чтобы проплыть 10 верст в стоячей воде озера?

5. От Энска до Иксграда.

Плывя по течению, пароход делает 20 верст в час; плывя противтечения – всего 15 верст в час. На путь от пристани г. Энска до пристани г. Иксграда он затрачивает на 5 часов меньше, чем на обратный путь.

Как далеко от Энска до Иксграда?

7. Игральная кость.

Вот игральная кость (рис. 1): кубик с обозначенными на его гранях очками от 1 до 6. Петр бьется о заклад, что если бросить кубик 4 раза подряд, он упадет единицей кверху только один раз.

Владимир же утверждает, что единица при четырех бросках либо совсем не выпадет, либо же выпадет больше одного раза.

У кого из них больше шансов выиграть спор?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 1.

8. Семеро друзей.

У одного человека было 7 друзей. Первый посещал его каждый вечер, второй – каждый второй вечер, третий – каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и т. д. до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.

Часто ли случалось, что этого человека в один и тот же вечер навещали все семеро друзей?

9. Продолжение предыдущей.

В те вечера, когда друзья собирались все вместе, хозяин угощал их вином, и приятели чокались друг с другом попарно (рис. 2).

Сколько раз при этом звучали бокалы, сталкиваясь между собой?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 2.

10. Основание карфагена.

Об основании древнего города Карфагена существует следующее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого ее братом, бежала в Африку и высадилась со многими жителями Тира на ее северном берегу. Здесь она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и окружила ими участок земли. Благодаря такой уловке она получила участок, достаточный для сооружения крепости. Так, гласит предание, возникла крепость Карфаген, вокруг которой впоследствии был построен город.

Попробуйте вычислить, какую площадь могла занимать крепость, если считать, что воловья шкура имеет поверхность 4 кв. м, и принять ширину ремешков, на которые Дидона ее изрезала, равной одному миллиметру.

Решения задач 1-10.

1. Оба насчитали одинаковое число прохожих. Действительно, тот, кто стоял у ворот, считал следовавших в обе стороны, зато тому, кто ходил, навстречу попалось вдвое больше людей.

2. Если сын теперь втрое моложе отца, то отец старше его на удвоенный возраст. Но и пять лет назад он был, конечно, старше сына на утроенный нынешнийвозраст сына. С другой стороны, так как тогда отец был старше сына в 4 раза, то он был старше его на утроенный тогдашнийвозраст сына. Следовательно, удвоенный нынешнийвозраст сына равен его утроенному прежнему возрасту или, что то же самое, сын теперь в 1 1/ 2раза старше, чем был 5 лет назад. Отсюда легко сообразить, что 5 лет – это половина прежнего возраста сына и, значит, пять лет назад ему было 10 лет, а теперь – 15.

Итак, сыну теперь 15 лет, отцу 45. Пять лет назад отцу было 40 лет, а сыну 10, т. е. вчетверо меньше.

3. Вторая лодка опоздала потому, что двигалась со скоростью 24 версты в час меньше времени, чем со скоростью 16 верст в час. Действительно, со скоростью 24 версты в час она двигалась 24: 24 = 1 час, а со скоростью 16 верст в час 24: 16 = 1 1/ 2часа. Поэтому на пути туда лодка потеряла времени больше, чем выгадала на обратном.

4. По течению гребец плывет со скоростью полверсты в минуту, против течения – со скоростью 1/ 12версты в минуту. В первую скорость включена скорость самого течения, у второй она вычтена. Следовательно,

( 1/ 2+ 1/ 12): 2,

Т. е. 7/ 12: 2 = 7/ 24версты в час – это собственная скорость гребца.

И значит, в стоячей воде гребец преодолеет 10 верст за.

10: 7/ 24= 34 2/ 7минуты.

Обычный ответ: в озере гребец проплывет 10 верст за то же время, что и в реке, так как потеря скорости будто бы восполняется выигрышем ее – совершенно не верен (см. предыдущую задачу).

5. Плывя по течению, пароход делает 1 версту в 3 мин; плывя против течения -1 версту в 4 мин. На каждой версте пароход в первом случае выгадывает 1мин. А так как на всем расстоянии он выгадывает во времени 5 ч, или 300 мин, то, следовательно, от Энска до Иксграда 300 верст.

Действительно,

300: 15 – 300: 20 = 20 – 15 = 5.

6. Для удобства перенумеруем яйца:

Крутое № 1……………K1.

Крутое № 2……………К2.

Всмятку № 1………….С1.

Всмятку № 2…………..С2.

Всмятку № 3…………..СЗ.

Из этих яиц можно составить следующие 10 пар:

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Мы видим, что только одна пара – первая – состоит из крутых яиц, остальные 9 не дают требуемого сочетания. Значит, у вас только 1 шанс из 10 взять пару крутых яиц; в остальных 9 случаях из 10 вы проигрываете. И если вы ставите 1 руб., то ваш партнер, имеющий 9 шансов из 10 выиграть, должен для уравнения шансов поставить не 5, а 9 рублей.

7. При четырех бросаниях число всевозможных положений игральной кости равно 6 × 6 × 6 × 6 = 1296. Допустим, что при первом бросании выпало единичное очко. Тогда при трех следующих бросаниях число всевозможных положений кубика, благоприятных для Петра (т. е. число выпаданий любых очков, кроме единичного), равнялось 5 × 5 × 5 = 125. Для Петра также возможно 125 благоприятных расположений, если единичное очко выпадает только при втором, только при третьем или только при четвертом бросании. Итак, существует 125 + 125 + 125 + 125 = 500 различных возможностей того, что единичное очко при четырех бросаниях появится один и только один раз. Неблагоприятных же возможностей имеется 1296 – 500 = 796 (так как таковыми являются все остальные случаи).

Мы видим, что у Владимира шансов выиграть больше (796 против 500), чем у Петра.

8. Нетрудно сообразить, что все семь друзей могли одновременно встречаться у хозяина через такое число дней, которое делится и на 2, и на 3, и на 4, и на 5, и на 6, и на 7. Наименьшее из таких чисел есть 420. Следовательно, друзья собирались вместе только один раз в 420 дней (14 месяцев).

9. Каждый из восьми присутствующих (хозяин и 7 его друзей) чокается с 7-ю остальными; всего сочетаний по два имеется 8 × 7 = 56. Но каждая пара учитывалась дважды (например, пары 3-й гость с 5-м и 5-й с 3-м рассматривались как разные). Следовательно, бокалы звучали 56: 2 = 28 раз.

10. Если площадь воловьей шкуры 4 кв. м или 4 000 000 кв. мм, а ширина ремня 1 мм, то общая длина вырезанного ремня (если Дидона вырезала его из шкуры по спирали) -4 000 000 миллиметров, т. е. 4000 м, или 4 км. Таким ремнем можно окружить квадратный участок площадью 1 кв. км.

Задачи из «путешествия Гулливера».

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Самые удивительные страницы в «Путешествии Гулливера по многим отдаленным странам» Джонатана Свифта, без сомнения, те, где описаны его необычайные приключения в двух странах: крошечных лилипутов и великанов «бробдиньягов». В стране лилипутов размеры – высота, ширина и толщина всех людей, животных, растений и вещей были в 12 раз меньше, чем у нас. В стране великанов наоборот, в 12 раз больше. Почему Свифт избрал именно число 12, легко понять, если вспомнить, что это как раз отношение фута к дюйму (автор «Путешествий» – англичанин). В 12 раз меньше, в 12 раз больше как будто не очень значительное уменьшение или увеличение. Однако природа и жизнь в этих фантастических странах поразительным образом отличалась от того, к чему мы привыкли. Зачастую различие это настолько озадачивает своей неожиданностью, что дает материал для головоломной задачи. Десяток подобных головоломок мы и хотим здесь предложить читателям.

1. Гулливер на довольствии у лилипутов.

Лилипуты, читаем мы в «Путешествии», установили для Гулливера следующую норму отпуска продуктов:

«Ему будет ежедневно выдаваться столько съестных припасов и напитков, сколько достаточно для прокормления 1724 подданных страны лилипутов».

«Триста поваров, – рассказывает Гулливер в другом месте, – готовили для меня кушанье. Вокруг моего дома были поставлены шалаши, где происходила стряпня и жили повара со своими семьями. Когда наступал час обеда, я брал в руки 20 человек прислуги и ставил их на стол, а человек 100 прислуживало с пола: одни подавали кушанье, остальные приносили бочонки с вином и другими напитками на шестах, перекинутых с плеча на плечо. Стоявшие наверху по мере надобности поднимали все это на стол при помощи веревок и блоков».

Не объясните ли вы, из какого расчета получили лилипуты такой огромный паек? И зачем понадобился столь многочисленный штат прислуги для кормления одного человека? Ведь он всего лишь в дюжину раз выше ростом лилипутов? Соразмерны ли подобный паек и аппетит, если принять во внимание соотношение размеров Гулливера и лилипутов?

2. Бочка и ведро лилипутов.

«Наевшись, – рассказывает далее Гулливер о своем пребывании в стране лилипутов, – я показал знаками, что мне хочется пить. Лилипуты с большой ловкостью подняли на веревках до уровня моего тела бочку вина самого большого размера, подкатили ее к моей руке и выбили крышку. Я выпил все одним духом. Мне подкатили другую бочку. Я осушил ее залпом, как и первую, и попросил еще, но больше у них не было» (рис. 1).

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 1. Бочки лилипутов.

В другом месте Гулливер говорит о ведрах лилипутов, что они были «не больше нашего большого наперстка».

Могли ли быть в стране, где все предметы меньше нормальных только в 12 раз, такие крошечные бочки и ведра?

3. Животные страны лилипутов.

«Пятьсот самых больших лошадей было прислано, чтобы отвезти меня в столицу», – рассказывает Гулливер о стране лилипутов.

Не кажется ли вам, что 500 лошадей чересчур много для этой цели, даже принимая во внимание соотношение размеров Гулливера и лилипутских лошадей?

О коровах, быках и овцах лилипутов Гулливер рассказывает не менее удивительную вещь: уезжая, он попросту «посадил их в свой карман».

Возможно ли это?

4. Жесткая постель.

О том, как лилипуты приготовили ложе своему гостю-великану, читаем в «Путешествии Гулливера» следующее:

«Шестьсот тюфяков обыкновенных лилипутских размеров было доставлено на подводах в мое помещение, где портные принялись за работу. Из полутораста тюфяков, сшитых вместе, вышел один, на котором я мог свободно поместиться в длину и ширину. Четыре таких тюфяка положили один на другой, но на этой постели мне было так же жестко спать, как на каменном полу».

Почему Гулливеру было на этой постели так жестко? И правилен ли приведенный здесь расчет?

5. Триста портных.

«Ко мне было прикомандировано 300 портных-лилипутов с наказом сшить мне полную пару платья по местным образцам».

Неужели нужна такая армия портных, чтобы сшить один костюм на человека, ростом всего в дюжину раз больше лилипутов?

6. Лодка Гулливера.

Гулливер покинул страну лилипутов на лодке, которую случайно прибило к берегу. Лодка эта казалась лилипутам чудовищным кораблем, далеко превосходящим по размерам самые крупные суда их флота (рис. 2).

Не можете ли вы рассчитать приблизительно, сколько лилипутских тонн водоизмещения [2]имела эта лодка, если исходить из того, что она могла поднять груз в 20 пудов?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 2. Лодка Гулливера.

7. Исполинские яблоки и орехи.

«Один раз, – читаем мы в «Путешествии Гулливера» к бробдиньягам (великанам), – с нами отправился в сад придворный карлик. Улучив удобный момент, когда я, прохаживаясь, очутился под одним деревом, он ухватился за ветку и встряхнул ее над моей головой. Град яблок, каждое величиной с хороший бочонок, шумно посыпался на землю; одно ударило меня в спину и сбило с ног…» (рис. 3).

В другой раз «какой-то каверзный школьник запустил орехом прямо мне в голову и едва не попал, а брошен был орех с такой силой, что неминуемо размозжил бы мне череп, так как был почти как наша небольшая тыква».

Сколько примерно, по вашему мнению, могли весить яблоко и орех страны великанов?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 3. Яблоки великанов.

8. Кольцо великанов.

В числе предметов, вывезенных Гулливером из страны великанов, было, по его словам, «золотое кольцо, которое королева любезно мне подарила, милостиво сняв его со своего мизинца и надев мне через голову на шею как ожерелье».

Возможно ли, чтобы колечко с мизинца, хотя бы и великанши, годилось Гулливеру как ожерелье? И сколько примерно должно весить такое кольцо?

9. Книги великанов.

О книгах в стране великанов Гулливер сообщает следующие подробности:

«Мне разрешено было брать из библиотеки книги для чтения, но для того, чтобы я мог их читать, пришлось соорудить целое приспособление. Столяр сделал для меня деревянную лестницу, которую можно было переносить с места на место. Она имела 25 футов в вышину, а длина каждой ступеньки достигала 50 футов. Когда я выражал желание почитать, мою лестницу устанавливали футах в 10 от стены, повернув к ней ступеньками, а на пол ставили раскрытую книгу, прислонив ее к стене. Я взбирался на верхнюю ступеньку и начинал читать с верхней строчки, переходя слева направо и обратно шагов на 8 или на 10, смотря по длине строк. По мере того как чтение продвигалось вперед и строки приходились все ниже и ниже уровня моих глаз, я постепенно спускался на вторую ступеньку, на третью и т. д. Дочитав до конца страницы, я снова поднимался вверх и начинал новую страницу таким же манером. Листы я переворачивал обеими руками, что было нетрудно, так как бумага, на которой у них печатают книги, не толще нашего картона, а самые большие их фолианты – имеют не более 18–20 футов в длину» (рис. 4).

Соразмерно ли все это?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 4. Книга великанов.

10. Воротники великанов.

В заключение предлагаю вам задачу этого же рода, но заимствованную непосредственно из описания Гулливеровых приключений.

Вам, быть может, неизвестно, что номер воротничка есть не что иное, как число сантиметров в его окружности. Если окружность вашей шеи 36 см, то вам подойдет воротник только № 36; воротник номером меньше будет тесен, а номером больше – просторен. Окружность шеи взрослого человека в среднем около 40 см.

Если бы Гулливер захотел в Лондоне заказать партию воротников для обитателей страны великанов, то о каком номере шла бы речь?

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 5. Воротник великанов.

Решения задач 1-10.

1. Расчет был сделан совершенно верно, если не считать маленькой арифметической ошибки. Не надо забывать, что лилипуты представляли собой точное, хотя и уменьшенное подобие обыкновенных людей, а значит, имели нормальную пропорцию частей тела. Следовательно, они были не только в 12 раз ниже, но также в 12 раз уже и в 12 раз тоньше Гулливера. Объем их тела поэтому был меньше объема тела Гулливера не в 12 раз, а в 12 × 12 × 12, т. е. в 1728 раз. Вот почему лилипуты и решили, что Гулливеру нужен пакет, достаточный для прокормления 1728 лилипутов (у Свифта ошибочно указано число 1724).

Теперь понятно и то, для чего понадобилось так много поваров. Чтобы приготовить 1728 обедов, требуется не менее 300 поваров, при условии, что один повар-лилипут может сварить полдюжины лилипутских обедов. Соответственно большое число людей необходимо и для того, чтобы поднять такой груз на высоту Гулливерова стола, который был, как легко рассчитать, высотой в трехэтажный дом лилипутов.

2. Бочки и ведра лилипутов в 12 раз меньше наших не только по высоте, но и по ширине и толщине, а следовательно, их объем меньше в 12 × 12 × 12 = 1728 раз. В нашем ведре приблизительно 60 стаканов, и мы легко можем определить, что ведро лилипутов вмещало всего 60: 1728, или круглым числом 1/ 30стакана. Это немногим больше чайной ложки и действительно не превышает вместимости крупного наперстка.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Если вместимость ведра лилипутов почти равна чайной ложке, то вместимость винного бочонка, даже если он был 10-ведерный, не превышала 1/ 3стакана. Не удивительно, что Гулливер не мог утолить жажду даже двумя такими бочками.

3. Мы уже подсчитали в первой задаче, что Гулливер по объему тела был больше лилипутов в 1728 раз. Разумеется, он был во столько же раз и тяжелее. Перевезти его тело на лошадях лилипутам было так же трудно, как перевезти 1728 лилипутов. Отсюда понятно, зачем в повозку с Гулливером понадобилось впрячь так много лошадей.

Животные страны лилипутов были тоже в 1728 раз меньше по объему и, значит, во столько же раз легче.

Наша корова имеет высоту аршина два и весит 50 пудов. Корова лилипутов была меньше трех вершков роста и весила 50: 1728 пуда, т. е. немногим больше одного фунта. Разумеется, такую игрушечную корову можно при желании уместить в кармане.

«Самые крупные их лошади и быки, – вполне правдоподобно рассказывает Гулливер, – были не выше 4–5 дюймов, овцы около 1 1/ 2дюйма, гуси величиной с нашего воробья и т. д. до самых мелких животных. Их мелкие животные были почти не различимы для моих глаз. Я видел, как повар ощипывал жаворонка величиной с нашу обыкновенную муху, если не меньше; в другой раз молодая девушка при мне вдевала невидимую нитку в невидимую иглу».

4. Расчет сделан вполне правильно. Если тюфяк лилипутов в 12 раз короче и в 12 раз уже тюфяка обычных размеров, то поверхность его в 12 × 12 раз меньше поверхности нашего тюфяка. Чтобы улечься, Гулливеру нужно было, следовательно, 144 (круглым счетом 150) лилипутских тюфяка. Но такой тюфяк очень тонок – в 12 раз тоньше нашего. Теперь понятно, почему даже 4 слоя подобных тюфяков не сделали ложе достаточно мягким. Тюфяк получился втрое тоньше, чем наш обыкновенный.

5. Поверхность тела Гулливера была не в 12 раз больше поверхности тела лилипутов, а в 12 × 12, т. е. в 144 раза. Это станет ясно, если мы представим себе, что каждому квадратному дюйму поверхности тела лилипута соответствует квадратный фут поверхности тела Гулливера, а в квадратном футе 144 квадратных дюйма. Раз так, то на костюм Гулливера должно было пойти в 144 раза больше сукна, чем на костюм лилипута, и, значит, соответственно больше рабочего времени. Если один портной шьет костюм за 2 дня, то, чтобы сшить за один день 144 костюма (или один костюм Гулливеру), могло понадобиться около 300 портных.

6. Лодка Гулливера могла поднять 20 пудов; следовательно, ее водоизмещение -20: 60 = 1/ 3тонны. Тонна – это вес кубического метра воды; значит, лодка вытесняла 1/ 3куб. м. Но все линейные меры лилипутов в 12 раз меньше наших, кубические же в 1728 раз. Легко сообразить, что 1/ 3нашего куб. м заключала около 575 метров в квадрате страны лилипутов, и что лодка Гулливера имела водоизмещение 575 т (или около того, так как исходное число 20 пудов мы взяли произвольно).

В наши дни, когда океаны бороздят суда в десятки тысяч тонн, корабль таких размеров никого не удивит, но нужно иметь в виду, что в те времена, когда было написано «Путешествие Гулливера» (в начале XVIII века) суда в 500–600 т были редкостью.

7. Легко рассчитать, что яблоко, которое весит у нас около четверти фунта, в стране великанов должно было весить, соответственно своему объему, в 1728 раз больше, т. е. 432 фунта, или почти 11 пудов! Такое яблоко, ударив человека в спину, едва ли оставит его в живых, так что Гулливер отделался невероятно легко от угрожавшей ему опасности быть раздавленным 11-пудовым грузом.

Орех страны великанов должен весить фунтов 8–9, если принять, что наш орех весит около 1/ 2золотника; в поперечнике исполинский орех мог иметь дюйма 4. Восьмифунтовый твердый предмет, брошенный со скоростью орешка, человеку нормальных размеров неминуемо должен был размозжить голову. И когда в другом месте Гулливер рассказывает, как в стране великанов был сбит с ног обыкновенным градом и что градины «жестоко колотили по спине, по бокам и по всему телу, словно большие деревянные шары, какими играют в крокет», то это вполне правдоподобно, потому что каждая градина страны великанов должна весить не меньше нескольких фунтов.

8. Поперечник мизинца человека нормальных размеров около 1 1/ 2см. Умножив на 12, получим размер кольца великанши в поперечнике: 1 1/ 2 × 12 = 56 см. кольцо с таким просветом имеет окружность 18 х 3 1/ 7= 56 см. Это вполне достаточные размеры, чтобы возможно было просунуть через него голову нормальной величины (в чем легко убедиться, измерив бечевкой окружность головы в самом широком месте).

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый.

Рис. 6. Кольцо королевы великанов вполне могло сойти за ожерелье.

Если обыкновенное колечко весит, скажем, один золотник, то кольцо такого же фасона из страны великанов должно весить 1728 золотников, т. е. немногим меньше полупуда.

9. Если исходить из размеров современной книги обычного формата (25 см длиной и 12 см шириной), то описанное Гулливером представится несколько преувеличенным. Чтобы читать книгу высотой менее 3 и шириной менее полутора метров, можно обойтись без лестницы и нет надобности ходить вправо и влево на 8-10 шагов. Но во времена Свифта, в начале XVIII века, формат книг (фолиантов) был гораздо больше, чем теперь. «Арифметика» Магницкого, например, вышедшая при Петре Великом, имела около 30 см в высоту и 20 см в ширину. Увеличивая эти величины в 12 раз, получаем для книг великанов внушительные размеры: 360 см (почти 4 м) в высоту и 240 см в ширину (2 1/ 2метра). Читать четырехметровую книгу без лестницы нельзя; но и тут не пришлось бы, переходя от одной строки к другой, делать 8-10 шагов, так что последняя подробность у Свифта, безусловно, является преувеличением.

Подобный фолиант должен весить в 1728 раз больше нашей обычной книги, т. е. пудов 70–80. Считая, что в нем 500 листов, получаем, что каждый лист книги великанов весил 11–13 пудов.

Буквы в книгах великанов имели 2–3 см высоты; читать столь крупную печать с расстояния 10 футов, как это делал Гулливер, очень удобно.

10. Окружность шеи великана больше окружности шеи нормального человека во столько же раз, во сколько раз больше ее поперечник, т. е. в 12 раз. И если нормальному человеку нужен воротник № 40, то для великана понадобился бы воротник с номером 40 х 12 = 480.

Примечания.

1.

Эта задача заимствована из старинного русского учебника математики Ефима Войтяховского, изданного в конце XVIII века.

2.

Водоизмещение корабля равно наибольшему грузу, который он может поднять (включая и вес самого судна). Тонна – около 60 пудов.

Оглавление.

Головоломки. Выпуск второй. Головоломки. Выпуск первый. Головоломки. Выпуск первый. Десять легких задач. 1. Бочки. 2. До половины. 3. Невозможное равенство. 4. Число волос. 5. Цена переплета. 6. Цена книги. 7. Головы и ноги. 8. На счетах. 9. Редкая монета. 10. Спаржа. Решения задач 1-10. Десять задач потруднее. 1. Сколько прямоугольников. 2. Реомюр и Цельсий. 3. Столяр и плотники. 4. Девять цифр. 5. Книжный червь. 6. Сложение и умножение. 7. Стрельба на пароходе. 8. Под водой. 9. Как это сделано? 10. Скорость поезда. Решения задач 1-10. Десять затруднительных положений. 1. Жестокий закон. 2. Милостивый закон. 3. Учитель и ученик. 4. На болоте. 5. Три разведчика. 6. Слишком много предков. 7. В ожидании трамвая. 8. Куда девался гость? 9. Без гирь. 10. На неверных весах. Решения задач 1-10. Десять замысловатых задач. 1. Дешевый сторож. 4. Ящик. 5. Две цепи. 6. Мешки с мукой. 7. Три дочери и два сына. 8. Две свечи. 9. Девятьсот поклонников. 10. Наследство раджи. Решения задач 1-10. Десять задач о Земле и небе. 1. Всюду юг! 2. По телефону. 3. Где начинаются дни недели? 4. Наперегонки с Землей. 5. Закат солнца. 6. Турецкий флаг. 7. Задача-шутка. 8. Закат Луны. 9. Броненосец. 10. Пароход и пловец на Луне. Решения задач 1-10. Примечания. 1. 2. 3. 4. Головоломки. Выпуск второй. Задачи со спичками. 1. Из шести три. 2. Оставить пять квадратов. 3. Оставить четыре квадрата. 4. Оставить три квадрата. 5. Оставить два квадрата. 6. Шесть четырехугольников. 7. Из дюжины спичек. 8. Из полутора дюжин. 9. Два пятиугольника. 10. Из 19 и из 12. Решения задач 1-10. Задачи с квадратами. 1. Пруд. 2. Паркетчик. 3. Другой паркетчик. 4. Третий паркетчик. 5. Белошвейка. 6. Еще белошвейка. 7. Затруднение столяра. 8. Все человечество внутри квадрата. 9. Сомнительные квадраты. 10. Темные пятна. Решения задач 1-10. Задачи о часах. 1. Когда стрелки встречаются? 2. Когда стрелки направлены врозь? 3. В котором часу? 4. Наоборот. 5. По обе стороны от шести. 6. Три и семь. 7. Часы-компас. 8. О том же. 9. Цифра шесть. 10. Тиканье часов. Решения задач 1-10. Десять разных задач. 1. Горизонт. 2. Где и когда? 3. Рост Эзопа [1]. 4. Пять обрывков цепи. 5. Четырьмя пятерками. 6. Вишня. 7. Дыни. 8. Удивительная затычка. 9. Модель башни Эйфеля. 10. Муха на ленте. Решения задач 1-10. Еще десять задач. 1. Кто больше? 2. Возраст сына. 3. Состязание. 4. По реке и по озеру. 5. От Энска до Иксграда. 7. Игральная кость. 8. Семеро друзей. 9. Продолжение предыдущей. 10. Основание карфагена. Решения задач 1-10. Задачи из «путешествия Гулливера». 1. Гулливер на довольствии у лилипутов. 2. Бочка и ведро лилипутов. 3. Животные страны лилипутов. 4. Жесткая постель. 5. Триста портных. 6. Лодка Гулливера. 7. Исполинские яблоки и орехи. 8. Кольцо великанов. 9. Книги великанов. 10. Воротники великанов. Решения задач 1-10. Примечания. 1. 2.