Скучные или интересные?

Одни люди интересные, другие скучные.

Футболист. Я лучший нападающий США. Музыкант. Я умею играть на гитаре ногами. М-р Скучмен. Я ничего не умею.

Мы составили два списка. В один внесли всех скучных людей, в другой — всех интересных людей.

Где-то в списке скучных людей числится самый скучный человек в мире.

Но именно этим он и интересен, поэтому мы должны вычеркнуть его из списка скучных людей и занести в список интересных людей.

М-р Скучмен. Благодарю вас. Но теперь в списке скучных людей где-то затерялся самый скучный человек среди оставшихся, который этим и интересен. Так постепенно каждый скучный человек станет интересным. Станет ли, как вы думаете?

Этот забавный парадокс представляет собой вариант «доказательства» того, что каждое положительное целое число чем-то интересно. Впервые оно было опубликовано Эрвином Ф. Бекенбахом в заметке «Интересные целые числа» в апрельском номере журнала American Mathematical Monthly за 1945 г.

Верно ли такое «доказательство» и не таит ли оно в себе логической ошибки? Не перейдет ли снова в разряд скучных человек, чье имя было первым включено в список интересных людей и вычеркнуто из списка скучных людей после того, как список интересных людей пополнится вторым среди самых скучных людей? Можно ли придать какой-то смысл утверждению о том, что каждый человек интересен, поскольку он является самым скучным из людей, образующих определенные множества, подобно тому как каждое целое число является наименьшим числом в определенных множествах чисел? Если все люди (или числа) интересны, то не утрачивает ли от этого смысл прилагательное «интересный»?

Семантика и теория множеств.

Парадоксы, связанные со значениями истинности, называются семантическими, парадоксы, связанные с множествами каких-то объектов, — теоретико-множественными. Оба типа парадоксов тесно связаны.

Соответствие между семантическими и теоретико-множественными парадоксами проистекает из того, что любое истинное или ложное утверждение можно представить в виде некоего утверждения о множествах и наоборот. Например, утверждение «Все яблоки красные» означает, что множество всех яблок содержится в множестве всех красных предметов. На языке высказываний, относительно которых можно утверждать, что они истинны или ложны, это переводится так: «Если верно, что х — яблоко, то верно, что х красного цвета».

Рассмотрим утверждение парадокса лжеца «Это утверждение ложно». В переводе на теоретико-множественный язык оно звучит так: «Это утверждение есть элемент множества всех ложных утверждений».

Если «это» утверждение действительно принадлежит множеству всех ложных утверждений, то то, о чем оно говорит, — правда и, следовательно, оно не может принадлежать множеству всех ложных утверждений.

Если же утверждение парадокса лжеца не принадлежит множеству ложных утверждений, то то, о чем оно говорит, — неправда и, следовательно, оно должно принадлежать множеству всех ложных утверждений.

У каждого семантического парадокса существует теоретико-множественный аналог, а у каждого теоретико-множественного парадокса существует семантический аналог.

Метаязыки.

Чтобы разрешить семантические парадоксы, используют специальный прием — так называемые метаязыки. Утверждения об окружающем мире, например «Яблоки красные» или «Яблоки синие», делаются на объектном языке. Утверждения об истинностных значениях следует делать на метаязыке.

В этом примере никакого парадокса нет и не может быть, так как утверждение А, записанное, по предположению, на метаязыке, относится к значению истинности утверждения В, записанного на объектном языке.

А каким образом мы могли бы говорить о значениях истинности утверждений, записанных на метаязыке? Для этого нам пришлось бы подняться на еще одну ступень и ввести метаязык. Каждая ступень бесконечной лестницы является метаязыком по отношению к предыдущей ступени (расположенной ниже) и объектным языком по отношению к следующей ступени (расположенной выше).

Понятие «метаязык» было введено польским математиком Альфредом Тарским. На нижней ступени лестницы находятся утверждения об объектах, например «У Марса две луны». Такие слова, как «истина» и «ложь», не входят в язык низшей ступени. Чтобы говорить об истинности или ложности утверждений, высказанных на языке низшей степени, мы должны воспользоваться метаязыком — следующей, более высокой ступенью лестницы. Метаязык включает в себя весь объектный язык, но не исчерпывается им. Метаязык «богаче» объектного языка, поскольку позволяет говорить об истинности и ложности утверждений, записанных на объектном языке. Любимый пример Тарского: «Снег белый» — утверждение из объектного языка, «Утверждение «Снег белый» истинно» — утверждение из метаязыка.

Можно ли говорить об истинности или ложности утверждений из метаязыка? Можно, но лишь поднявшись на третью ступень лестницы и говоря на более высоком метаязыке, позволяющем высказывать утверждения об истинности или ложности утверждений всех языков более низких ступеней.

Каждая ступень лестницы является объектным языком по отношению к ступени, расположенной непосредственно над ней. Каждая ступень, за исключением самой нижней, является метаязыком по отношению к ступени, расположенной непосредственно под ней. Лестница простирается вверх сколь угодно далеко.

Примеры утверждений на языках первых четырех ступеней.

A. Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.

B. Утверждение А истинно.

C. Утверждение В истинно.

D. Утверждение С истинно.

Язык на уровне А позволяет формулировать теоремы о геометрических объектах. Геометрический текст, содержащий доказательства теорем, написан на метаязыке уровня В. Книги по теории доказательств написаны на языке уровня С. К счастью, математикам редко приходится подниматься выше уровня С.

Теоретическая нескончаемость, или бесконечность, лестницы в занимательной форме рассмотрена в статье Льюиса Кэрролла «Что черепаха сказала Ахиллу»[4]

Теория типов.

Бесконечная иерархия, аналогичная лестнице метаязыков, позволяет избавиться от теоретико-множественных парадоксов. Ни одно множество не может быть членом самого себя или любого множества более низкого типа. Брадобрей, астролог, робот и каталог просто не существуют.

У лестницы метаязыков Тарского существует теоретико-множественный аналог — теория типов Бертрана Рассела. Не вдаваясь в технические подробности, можно сказать, что эта теория, устанавливая среди множеств иерархию по типам, исключает высказывания о принадлежности или непринадлежности множества самому себе. Тем самым исключаются противоречивые множества. Они просто-напросто вычеркиваются из системы. Если вы неукоснительно следуете правилам теории типов, то у вас нет разумного способа определить эти множества, чреватые противоречиями. Ситуация, возникающая при этом в теории множеств, аналогична той, с которой мы сталкиваемся в семантике, когда утверждаем, что такие утверждения, как парадокс лжеца, просто «не являются утверждениями», поскольку не соответствуют правилам построения «законных» утверждений.

Не один год понадобился Бертрану Расселу, чтобы разработать теорию типов. Вот что он пишет в книге «Мое философское развитие»:

Закончив «Принципы математики», я предпринял решительную попытку найти решение парадоксов. Их существование я рассматривал почти как личный вызов и, если потребовалось бы, посвятил бы всю оставшуюся жизнь попыткам разрешить их. Однако по двум причинам такая приверженность идее избавления от парадоксов казалась мне нежелательной. Во-первых, вся проблема представлялась мне тривиальной… Во-вторых, сколько я ни пытался, мне не удавалось ни на шаг продвинуться в ее решении. Почти все 1903 и 1904 гг. ушли на борьбу с парадоксами, но без сколько-нибудь ощутимых признаков успеха.

Предсказание свами[5].

Может ли снами видеть будущее в своем хрустальном шаре? Предсказание будущего приводит к необычному логическому парадоксу нового типа.

Однажды Свами поспорил со своей десятилетней дочерью Сью.

Сью. Ты большой обманщик, папа. На самом деле ты не можешь предсказывать будущего. Свами. Нет, могу! Сью. Нет, не можешь, и я могу доказать это.

Сью написала несколько слов на листке бумаги, сложила его и подсунула под хрустальный шар.

Сью. Я описала некое событие, которое либо произойдет, либо не произойдет до 3 часов дня. Если ты сумеешь предсказать, произойдет ли это событие, то можешь не покупать машину, которую ты обещал подарить мне за успешное окончание школы. Сью. Вот чистая карточка. Если ты считаешь, что событие произойдет, то напиши на ней ДА. Если, по-твоему, оно не произойдет, напиши на карточке НЕТ. Но если твое предсказание окажется неверным, то ты покупаешь мне машину сейчас, не дожидаясь, пока я окончу школу. Идет? Свами. Идет!

Свами написал что-то на карточке. Ровно в 3 часе Сью извлекла листок бумаги из-под хрустального шара и, развернув, прочитала вслух то, что было написано на нем: «До 3 часов ты напишешь на карточке НЕТ».

Свами. Это нечестно с твоей стороны. Я написал на карточке ДА, поэтому я ошибся. На если бы я написал НЕТ, то все равно бы ошибся. Что бы я ни написал на карточке, мое предсказание в любом случае оказалось бы неверным. Сью. Папочка, мне очень нравятся спортивные машины красного цвета я чтобы кресла были с откидными спинками.

В первоначальном варианте этого парадокса речь шла о компьютере, отвечавшем на все вопросы только «да» или «нет», когда к нему обращаются с просьбой предсказать, будет ли его следующий ответ отрицательным. Ясно, что выдать правильное предсказание логически невозможно. В предельно простом варианте парадокс свами возникнет, если обратиться к кому-нибудь с вопросом: "Будет ли следующее произнесенное вами слово словом «нет»? Отвечайте, пожалуйста, только «да» или «нет»".

Отличается ли парадокс с предсказанием свами от парадокса лжеца, или мы, по существу, имеем дело с одним и тем же парадоксом? Предположим, что человек, к которому мы обратимся с нашим несколько необычным вопросом, ответит: «Нет». Что, собственно, означает такой ответ? В развернутом виде односложное «нет» эквивалентно утверждению "Неверно, что я сейчас скажу: «Неверно»". В свою очередь такое утверждение эквивалентно утверждению «Это утверждение ложно». Таким образом, парадокс свами представляет собой нечто большее, чем замаскированный вариант парадокса лжеца»

Заметим, что подобно тому, как утверждение «Это утверждение истинно» не приводит к парадоксу, вопрос "Будет ли следующее произнесенное вами слово словом «да»?" также не приводит к парадоксу.

Независимо от того, что ответит на него спрошенный нами человек — «да» или «нет», — никакого противоречия не возникнет. В варианте парадокса лжеца с крокодилом и младенцем это соответствует тому что если бы-мать сказала: «Ты вернешь моего сына», то крокодил мог бы и съесть, и вернуть дитя, не впадая при этом в противоречие.

Полная неожиданность.

Принцесса. Папочка, ты король и все можешь. Позволь мне выйти замуж за Майкла. Король. Дитя мое, я отдам тебя за Майкла, если он убьет тигра, который находится за одной из этих пяти дверей. Майклу придется открыть одну за другой все двери подряд, начиная с первой.

За какой именно дверью прячется тигр, Майклу заранее не должно быть известно. Об этом он узнает, лишь когда откроет ее. Тигр за дверью должен быть для него полной неожиданностью.

Встав перед дверями, Майкл принялся рассуждать следующим образом.

Майкл. Если я открою четыре двери и ни за одной из них не окажется тигра, то я буду знать, что тигр прячется за пятой дверью. Но король сказал, что мне не должно быть известно заранее, за какой дверью находится тигр. Следовательно, тигр не может находиться за пятой дверью. Майкл. Поставим на пятой двери крест. Тогда тигр должен находиться за одной из первых четырех дверей. Если открыв три двери, я не обнаружу ни за одной из них тигра, то тигр заведомо будет находиться за четвертой дверью. Но тогда ни о какой неожиданности не может быть и речи, поэтому на четвертой двери также можно поставить крест.

Продолжая рассуждать в таком же духе, Майкл доказал, что тигр не может находиться ни за третьей, ни за второй, ни за первой дверью, и был вне себя от радости.

Майкл. Итак, никакого тигра ни за одной из дверей нет. Ведь если бы он был, то для меня это не было бы неожиданностью вопреки утверждению короля, а короли никогда не бросают слов на ветер.

Доказав, что никакого тигра нет и в помине, Майкл принялся храбро открывать двери. Но стоило ему распахнуть вторую дверь, как из-за нее выпрыгнул тигр. Для Майкла это было полной неожиданностью. Король сдержал свое слово. Логики до сих пор продолжают спорить относительно того, где именно в рассуждения Майкла вкралась ошибка.

Парадокс с неожиданным появлением тигра рассказывают по-разному. Когда о нем впервые заговорили в начале 40-х годов, речь шла о профессоре, пообещавшем своим студентам устроить в один из дней на следующей неделе «неожиданный экзамен».

Профессор, всегда державший свое слово, уверял, что студенты не смогут заранее определить, на какой из дней назначена проверка, и узнают о предстоящем им испытании только в день экзамена. Студенты «доказали» сначала, что экзамен не может быть назначен на последний день недели, затем — на предпоследний и т. д. на каждый из остальных дней недели.

Выясняется, однако, что профессор, не нарушив своего обещания о полной неожиданности проверки, назначил экзамен, например, на среду.

В статье философа У. В. Куайна из Гарвардского университета, опубликованной в 1953 г., речь шла о судье, приговорившем подсудимого к неожиданной казни через повешение. Подробный анализ этого парадокса и некоторые библиографические ссылки можно найти в главе «Казнь врасплох и связанный с ней логический парадокс» моей книги «Математические досуги» (М.: Мир, 1972, с. 95—109).

Большинство людей склонно считать первый шаг в рассуждениях Майкла (утверждение о том, что тигр не может находиться за последней дверью) правильным. Но коль скоро мы согласимся с этим выводом, то нам не останется ничего другого, как признать правильность и всех остальных рассуждений Майкла: ведь если тигр не может находиться за последней дверью, то аналогичные рассуждения позволяют исключить случай, когда тигр находится за предпоследней, предпредпоследней и т. д. дверью.

Но на самом первом шаге своих рассуждений Майкл все же допустил ошибку. Предположим, что он распахнул все двери, кроме последней. Может ли он сделать логически безупречный вывод о том, что за последней дверью тигра нет? Не может, потому что, придя к такому заключению, Майкл мог бы открыть последнюю дверь и совершенно неожиданно для себя обнаружить за ней тигра! Следовательно, парадокс остается в силе и в том случае, если осталась неоткрытой одна-единственная дверь.

Предположим, что некий мистер Смит, всегда говорящий, как вам хорошо известно, только правду, вручает вам коробку и говорит: «Откройте ее, и вы неожиданно обнаружите внутри яйцо». Можете ли вы, рассуждая логически, прийти к какому-нибудь заключению относительно того, находится ли внутри коробки яйцо, или его там нет? Если Смит сказал правду, то внутри коробки должно быть яйцо, но, поскольку вы знаете об этом, для вас не будет неожиданностью обнаружить яйцо в коробке. Следовательно, утверждение Смита ложно. С другой стороны, если это противоречие подтолкнет вас к выводу о том, что в коробке нет яйца (в этом случае утверждение Смита ложно), и вы, открыв коробку, неожиданно обнаружите в ней яйцо, то утверждение Смита истинно.

Логики сходятся на том, что хотя король знает о том, что держит данное им слово, Майклу об этом ничего не известно. Следовательно, он не может, рассуждая логически, прийти к выводу, чтя за любой дверью, в том числе и последней, нет тигра.

Парадокс Ньюкома.

Из глубин космического пространства на Землю высадился инопланетянин Омега.

У Омеги было с собой самое совершенное оборудование для изучения деятельности головного мозга людей, позволявшее ему с точностью определять, какую из двух альтернатив выберет каждый из испытуемых.

Омега обследовал большое число людей, используя для теста два ящика. В ящике А, прозрачном, лежал чек на 1000 долларов.

В ящике В, непрозрачном, либо не было ничего, либо лежал чек на 1 000 000 долларов.

Каждому испытуемому Омега говорил следующее.

Омега. Перед вами две возможности. Во-первых, вы можете выбрать оба ящика и взять себе те деньги, которые в них находятся. Если бы я знал, что вы поступите именно так, то оставил бы ящик В пустым. В этом случае вы получите только 1000 долларов. Омега. Во-вторых, вы можете выбрать только ящик В. Если бы я знал, что вы поступите именно так, то положил бы в ящик В 1 000 000 долларов и он целиком достался бы вам.

Этот мужчина решил выбрать только ящик В. Рассуждал он следующим образом.

Мужчина. Я видел, как Омега провел не одну сотню тестов. Каждый раз он правильно предсказывал, какую из альтернатив выберет испытуемый. Каждый, кто выбирал оба ящика, получал всего лишь 1000 долларов. Выберу-ка я лучше только ящик В и стану миллионером.

Эта женщина решила выбрать оба ящика. Рассуждала она следующим образом.

Женщина. Омега уже определил, какую из альтернатив я выберу, и вышел из комнаты. Содержимое ящика теперь не изменится. Если он пуст, то пустым и останется, а если в нем миллион, то этот миллион никуда не денется. Выберу-ка я оба ящика и возьму все денежки, какие в них лежат.

Чье решение, по-вашему, правильно? Оба рассуждения — мужчины и женщины — не могут быть правильными. Какое из них неправильно и в чем? Это новый парадокс, и даже специалисты не знают пока, как его решить.

Это последний и наиболее поразительный из парадоксов, связанных с предсказанием, которые обсуждают современные философы. Придумал его физик Уильям Ньюком, в честь которого он и был назван парадоксом Ньюкома. Впервые его опубликовал и проанализировал философ из Гарвардского университета Роберт Нозик. Работа Нозика опиралась на такие разделы современной математики, как «теория игр» и «теория решений».

Решение мужчины выбрать ящик В понять нетрудно. Рассуждения женщины станут понятнее, если мы вспомним, что Омега вышел из комнаты и, следовательно, не может изменить содержимое ящика В.

Если ящик В пуст, то так и останется пустым. Если в нем чек на миллион долларов, то этот чек никуда не исчезнет. Рассмотрим оба случая.

Если в ящике В находится чек на миллион долларов и женщина выбирает только ящик В, то она получает миллион долларов. Но если она выбирает оба ящика, то получает миллион плюс тысячу долларов.

Если ящик В пуст и женщина выбирает только ящик В, то она не получает ничего. Если же она выбирает оба ящика, то получает 1000 долларов.

Следовательно, в любом случае женщина, выбрав оба ящика, станет богаче по крайней мере на 1000 долларов.

Парадокс Ньюкома служит своего рода лакмусовой бумажкой для проверки, верит или не верит человек в свободу воли. Воможные реакции на парадокс подразделяются (почти поровну) на два типа: те, кто верит в свободу воли, выбирают два ящика; сторонники детерминизма предпочитают выбирать только ящик В. Имеются и такие, кто считает парадокс Ньюкома противоречивым независимо от того, полностью или не полностью предопределено будущее.

Подробный обзор различных, нередко противоположных, взглядов на парадокс Ньюкома приведен в разделе «Математические игры» журнала Scientific American мной (июль 1973) и профессором Нозиком (март 1974).