Невозможные объекты.

Еще больше, чем точка, проходимая при подъеме и спуске в одно и то же время, Пата удивила эта лестница. По ней можно идти нескончаемо долго только вверх (или только вниз) и при этом возвращаться на исходное место.

Сколько зубцов на этом грозном оружии: два или три?

Не могли бы вы сбить из дощечек эту «сумасшедшую» клеть?

Лестница, х-зубец (х = 2 или х = 3) и клеть принадлежат к числу так называемых «невозможных объектов», или «неразрешимых фигур». Невозможную лестницу придумали английский генетик Лайонел С. Пенроуз и его сын математик Роджер Пенроуз, который впервые опубликовал ее в 1958 г. Ее нередко называют лестницей Пенроуза. Она поразила воображение голландского художника М. К. Эшера, который использовал ее в одной из своих литографий «Подъем и спуск».

Автор х-зубца с двумя или тремя зубьями неизвестен. Этот невозможный объект встречается примерно с 1964 г. На обложке мартовского номера журнала Mad за 1965 г. изображен Альфред Э. Нейман, балансирующий таким х-зубцом на указательном пальце.

Автор сумасшедшей клети также неизвестен.

Она изображена на рисунке Мориса Эшера «Бельведер». И невозможная лестница, и невозможный предмет с двумя или тремя зубьями, и сумасшедшая клеть показывают, как легко мы «попадаемся на удочку», считая изображенный на рисунке объект подлинным, хотя в действительности он логически противоречив и, следовательно, не может существовать. Невозможные объекты — своего рода визуальные аналоги таких неразрешимых утверждений, как «Это утверждение ложно», о которых говорилось в главе 1.

Другие примеры невозможных объектов приведены в главе, посвященной оптическим иллюзиям, моей книги «Математический цирк» и в книгах японского художника-графика Митсумасы Анно «Алфавит Анно» и «Неповторимый мир Анно».

Патологическая кривая.

Эта извилистая ломаная, напоминающая по форме контур снежинки, не принадлежит к числу невозможных объектов, хотя и парадоксальна. Ее построение мы начнем с контура этой новогодней елки — равностороннего треугольника.

Разделив каждую сторону на 3 равные части, построим на каждой средней части равносторонний треугольник, лежащий снаружи от большого треугольника.

С каждым из меньших треугольников проделаем ту же операцию: разделим их. стороны на 3 равные части и на средних частях построим равносторонние треугольники.

Длина ломаной при этом еще больше возрастет, а сама ломаная станет похожа на шестиугольную снежинку.

С каждым разом ломаная будет становиться все длиннее и красивее.

Продолжая построение, мы можем сделать ломаную сколь угодно длинной. Она может умещаться на почтовой марке и все же быть длиннее, чем расстояние от Земли до самой далекой звезды!

Кривая-снежинка — один из красивейших представителей бесконечного множества кривых, названных патологическими из-за своих парадоксальных свойств. При неограниченном увеличении числа звеньев длина ломаных в пределе стремится к бесконечности, хотя площадь заключенного внутри ломаных участка плоскости остается конечной. Иначе говоря, если после очередного увеличения числа звеньев ломаной мы станем измерять ее длину и площадь ограничиваемого ею многоугольника, то последовательность длин окажется расходящейся, а последовательность площадей — сходящейся к пределу, равному 8/5 от площади исходного равностороннего треугольника. К предельной кривой ни в одной точке невозможно провести касательную.

Кривая-снежинка — великолепный повод для того, чтобы освежить в вашей памяти все связанное с понятием предела. Можете ли вы доказать, что если площадь исходного равностороннего треугольника принять за единицу, то площадь части плоскости, заключенной внутри предельной кривой, равна 8/5?

Вот несколько задач на построение, тесно связанных с кривой-снежинкой.

1. Постройте кривую-антиснежинку: вычерчивая равносторонние треугольники, пристраивайте их не снаружи, а изнутри, после чего стирайте их основания. На первом этапе вы получите 3 ромба, соединенные в центре наподобие пропеллера. Имеет ли возникающая в пределе кривая-антиснежинка бесконечную длину? Конечна ли площадь ограничиваемой ею части плоскости?

2. Что произойдет, если за исходную фигуру принять не равносторонний треугольник, а какой-нибудь другой правильный многоугольник?

3. Что произойдет, если на каждой стороне строить по нескольку многоугольников?

4. Существуют ли трехмерные аналоги кривой снежинки и ее ближайших сородичей? Например, если на гранях тетраэдров строить тетраэдры, будет ли предельное тело иметь поверхность бесконечной площади? Будет ли его объем конечным?

В статье о патологических кривых, опубликованной в декабрьском номере журнала Scientific American за 1976 г., я рассказал о парадоксальной кривой, открытой Уильямом Госпером и названной «кривой дракона». Другая замечательная кривая, открытая Бенуа Мандельбротом, украшает обложку апрельского номера того же журнала за 1978 г. Ей посвящена моя статья, опубликованная в этом номере журнала.

О других патологических кривых, тесно связанных с кривой-снежинкой, рассказывается и в книге Мандельброта «Фрактальная геометрия природы».

Неизведанная Вселенная.

Если космический корабль полетит все время прямо, никуда не сворачивая, то будет ли он все более удаляться от Земли?

«Не обязательно, — решил Эйнштейн. — Корабль может вернуться, даже если он все время будет лететь прямо».

Чтобы понять парадокс Эйнштейна, начнем с несчастного пойнтландца. Вся его вселенная — это одна-единственная точка, имеющая нуль измерений.

Обитающий на одномерной линии лайнландец подобен червяку, ползущему по канату: если канат бесконечен, то он может путешествовать сколь угодно далеко как в одну, так и в другую сторону.

Но если канат замкнут наподобие окружности, то вселенная нашего лайнландца неограниченна, хотя и имеет конечную длину.

В какую бы сторону ни полз червяк, он непременно вернется в исходную точку.

Флатландец обитает на двумерной поверхности. Если его вселенная — бесконечная плоскость, то он может путешествовать на любые расстояния в любом направлении.

Но если поверхность, на которой он обитает, замкнута наподобие сферы, то она также неограниченна и конечна. В какую бы сторону ни отправился флатландец, двигаясь все время прямо и никуда не сворачивая, он непременно вернется туда, откуда начал свой путь.

Мы с вами «солидландцы», обитающие в трехмерном мире. Возможно, наш мир простирается бесконечно далеко в каждом из направлений.

Но, может быть, наша Вселенная изогнута в пространстве большего числа измерений и потому неограниченна и конечна? В такой Вселенной, как и полагал Эйнштейн, космический корабль, все время летящий прямо, мог бы вернуться к месту старта.

Когда флатландец совершает кругосветное путешествие по сфере, он как бы движется по полоске, склеенной в кольцо без перекручивания.

Но если флатландец путешествует по листу Мёбиуса, то происходит нечто странное. Полоборота, на которые перекручено полотно листа, как бы переворачивают флатландца на другую сторону: вернувшись в исходную точку, он обнаруживает у себя сердце не слева, а справа!

Если наше пространство перекручено наподобие листа Мёбиуса, то вернувшийся на Землю астронавт может оказаться собственным зеркальным отражением.

Астрономы пока не пришли к единому мнению относительно того, замкнута ли наша Вселенная, как полагал Эйнштейн, или открыта. Ответ на этот вопрос зависит от того, какова масса Вселенной. Согласно общей теории относительности, масса приводит к искривлению пространства — чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Большинство специалистов по современной космологии считают, что массы Вселенной недостаточно для столь сильного искривления пространства, которое привело бы к его замыканию. Но вопрос пока остается открытым, поскольку ни природа Вещества, ни распределение его плотности во Вселенной не известны. Не исключено, что во Вселенной имеется «скрытая масса», вполне достаточная для замыкания пространства. (Например, подозревают, что нейтрино обладают положительной массой покоя, в то время как раньше их масса покоя считалась равной нулю.)

Не существует никаких данных, позволяющих утверждать о том, будто наше пространство перекручено, как лист Мёбиуса. Тем не менее ученые, занимающиеся космологией, охотно рассматривают различные модели пространства, в том числе и модели с кручением. Для того чтобы понять, каким образом флатландец, совершив кругосветное путешествие по листу Мёбиуса, переходит в свое зеркальное отражение, важно не упускать из виду одно существенное обстоятельство: нулевую толщину листа Мёбиуса. Любая бумажная модель листа Мёбиуса в действительности представляет собой объемное тело, так как бумага имеет конечную толщину.

Мы же должны исходить из предположения о том, что идеальный лист Мёбиуса имеет нулевую толщину.

Плоская фигура, начерченная на идеальном листе Мёбиуса, напоминает фигуру, начерченную чернилами, которые проходят сквозь бумагу, делая контур видимым с двух сторон: она начерчена одновременно с двух «сторон» листа, а не только с одной «стороны», как бы погружена в его поверхность нулевой толщины.

Вернувшись в исходное положение после обхода листа Мёбиуса, такая фигура переходит в свое зеркальное отражение. Разумеется, при повторном обходе она вновь принимает свой первоначальный вид. Аналогичным образом астронавт, вернувшись из кругосветного путешествия в пространстве с кручением, оказался бы зеркальным двойником самого себя и, лишь совершив повторное кругосветное путешествие, смог бы «прийти в себя».

Если вас заинтересовали парадоксальные свойства листа Мёбиуса, то вам, возможно, покажутся интересными две другие не менее парадоксальные поверхности — бутылка Клейна и проективная плоскость — и вы захотите изучить их подробнее. Обе поверхности односторонние, но в отличие от листа Мёбиуса не имеют краев. Бутылка Клейна тесно связана с листом Мёбиуса, так как, разрезав ее пополам, мы можем получить два зеркально-симметричных листа Мёбиуса. Флатландец, обитающий на поверхности бутылки Клейна или на проективной плоскости, совершив кругосветное путешествие, переходит в свое зеркальное отражение (см. главу 2 моей «Шестой книги математических игр» из журнала Scientific American)[17]. Классической книгой о жизни в двумерном пространстве по праву считается «Флатландия» Эдвина Э. Эббота. Ее продолжение — «Сферландию»— написал Дионис Бюргер[18].

Возможно, вам понравится фантастический рассказ Г. Уэллса «История Платтнера» — о человеке, побывавшем в четвертом измерении и вернувшемся на Землю своим зеркальным двойником — с сердцем, расположенным справа.

Антивещество.

Превратившись в своего зеркального двойника, астронавт чувствовал бы себя вполне нормально, но все вокруг казалось бы ему как бы отраженным в зеркале: надписи были бы выполнены зеркальным шрифтом, движение автомашин из правостороннего превратилось бы в левостороннее.

Многие физики считают, что зеркальное отражение вещества было бы антивеществом, которое аннигилировало бы при соприкосновении с обычным веществом. Если это действительно так, то наш астронавт не смог бы вернуться на Землю: как только его корабль вошел бы в верхние слои атмосферы, раздался бы взрыв!

Могут ли в нашей Вселенной существовать галактики из антивещества? Может быть, огромные вселенные, состоящие из антивещества, лежат за пределами нашей Вселенной? Современная космология пока не знает ответов на эти вопросы.

У каждой элементарной частицы есть античастица.

Она почти неотличима от частицы, за исключением того, что ее электрический заряд (если таковой имеется) и некоторые другие свойства имеют противоположный знак. Многие физики считают, что античастица наделена структурой, зеркально-симметричной структуре частицы. Вещество, состоящее из античастиц, называется антивеществом.

При столкновении частицы с античастицей происходит аннигиляция. Наша Галактика состоит целиком из вещества, поэтому если где-нибудь — в лаборатории или в недрах звезд — рождается античастица, то она существует лишь какую-нибудь микросекунду, после чего аннигилирует при столкновении с частицей.

Большинство специалистов по космологии считают, что Вселенная состоит только из вещества, но некоторые полагают, что отдельные галактики могут состоять из антивещества. Распознать такие галактики трудно, так как свет, идущий от них, был бы неотличим от света, испускаемого обычными галактиками. Высказывалась также гипотеза, что после Большого взрыва, которым, по-видимому, ознаменовалось рождение нашей Вселенной, вещество и антивещество разделились, образовав две Вселенные: «космон» и «антикосмон», которые, отталкиваясь, разлетелись с огромной скоростью.

Представление о Вселенной, разделенной на две зеркально-симметричные части, лежит в основе многих научно: фантастических романов, По поводу антивещества и аналогичных проблем см. брошюру Янга Ч. «Элементарные частицы»[19]; мою книгу «Этот правый, левый мир»[20] и книгу известного шведского физика и астрофизика Ханнеса Альфвена «Миры — антимиры»[21].