Еще немного алгебры.

Задача 30-я

Любопытно, что предыдущую задачу можно было бы решить даже и в том случае, если бы в условии не указывалось точного числа спичек во всех кучках. А именно, задачу можно было предложить в таком виде: Из полного коробка вынуты несколько спичек, а остальные распределены по трем кучкам. Потом сделаны были следующие переложения: из 1-й кучки во 2-ю столько, сколько было во 2-й; из 2-й в 3-ю столько, сколько было в 3-й; из 3-й в 1-ю столько, сколько было в 1-й, — и тогда во всех кучках оказалось спичек поровну. Каково было первоначальное расположение спичек в кучках?

Решение

Пусть после третьего перекладывания оказалось каждой кучке по а спичек, т.-е. распределение стало такое:

До этого, — как вы легко сообразите сами — распределение было

Более раннее распределение:

А еще раньше:

Это и есть первоначальное распределение спичек по кучкам. Возможно оно, очевидно, лишь в том случае, если число спичек а делится без остатка на 8. Значит, число а может равняться 8, 16, 24 и т. д., а число спичек во всех трех кучках (3а) могло быть только 24, 48, 72 и т. д.

Но в коробке обычно бывает, примерно, около 55 спичек. Мы знаем, что из коробка было вынуто несколько спичек. Ясно, что единственное подходящее число в предыдущем ряду 48. Это и есть ответ задачи.