«Подъезжая к сией станции... у меня слетела шляпа».

Наш заголовок — это фраза-пародия из юмористического рассказа А.П. Чехова. Она страдает не только орфографической неграмотностью («сией» вместо сей), но и стилистической беспомощностью. Хозяин шляпы нарушил языковое правило: обозначаемое деепричастием действие должно относиться к подлежащему. В приведённом примере речь идёт о действиях двух предметов (в грамматическом значении этого слова): обо мне (я подъезжал к станции) и о шляпе (она слетела). В неправильном построении этого высказывания легко убедиться, если переставить деепричастный оборот (обычно у него свободное расположение во фразе): «Шляпа, подъезжая к сей станции, у меня слетела».

Исправляя подобные предложения (а они встречаются достаточно часто: «Прощаясь с друзьями, один из них сказал мне...»; «Возвращаясь домой, меня застиг дождь»), деепричастные обороты следует заменять придаточными обстоятельственными (например: Когда я прощался с друзьями, один из них...).

Встречающиеся у писателей-классиков отступления от литературной нормы представляют собой либо галлицизмы (обороты, возникшие под воздействием французского языка, где такие конструкции допустимы), либо результат влияния народной речи: ...Имея право выбирать оружие, жизнь его была в моих руках (А. Пушкин); Проезжая на возвратном пути в первый раз весной знакомую берёзовую рощу, у меня голова закружилась... (И. Тургенев).

Не используются деепричастные обороты в безличных предложениях типа «Подходя к лесу, мне стало холодно» (в этом предложении нет грамматического подлежащего, которому можно было бы приписать действие, выраженное деепричастием). Такие предложения, встречающиеся в русской классической литературе, с точки зрения современной нормы следует рассматривать как устарелые: ...Убедившись, что понять этого он не сможет, ему стало скучно (Л. Толстой); Прочитав внимательно рассказ, мне думается, что редакторских поправок в нём нет (М. Горький).

Возможно употребление деепричастного оборота в безличном предложении при неопределённой форме глагола: Выполняя это упражнение, нужно руководствоваться указаниями, приведёнными в задании.