§ 22. Как построить треугольник по стороне и двум углам.

Рассмотрим, наконец, задачу, решение которой приводит к построению треугольника по стороне и двум углам:

На другом берегу реки (черт. 72) видна веха A. Требуется, не переправляясь через реку, узнать расстояние до нее от вехи В на этом берегу.

Поступим так. Отмерим от точки В по прямой линии какое-нибудь расстояние ВС и у концов его В и С измерим углы 1 и 2 (черт. 73). Если теперь на удобной местности отмерить расстояние DE, равное ВС, и построить у его концов углы а и b(черт. 74), равные углам 1 и 2, то в точке пересечения их сторон получим третью вершину Fтреугольника DEF. Легко убедиться, что треугольник DEFравен треугольнику АВС; действительно, если представим себе, что треугольник DEFналожен на ABCтак, что сторона DEсовпала с равной ей стороною ВС, то уг. а совпадет с углом 1, угол b – с углом 2, и сторона DFпойдет по стороне ВА, а сторона EFпо стороне СА. Так как две прямые могут пересечься только в одной точке, то и вершина Fдолжна совпасть с вершиной A. Значит, расстояние DFравно искомому расстоянию ВА.

Задача, как видим, имеет т о л ь к о о д н о решение. Вообще по стороне и двум углам, прилегающим к этой стороне, можно построить т о л ь к о о д и н треугольник; других треугольников с такою же стороною и такими же двумя углами, прилегающими к ней в тех же местах, быть не может. Все треугольники, имеющие по одной одинаковой стороне и по два одинаковых угла, прилегающих к ней в тех же местах, могут быть наложением приведены в полное совпадение. Значит, это признак, по которому можно установить полное равенство треугольников.

Вместе с прежде установленными признаками равенства треугольников, мы знаем теперь следующие три:

Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы:

п о т р е м с т о р о н а м;

п о д в у м с т о р о н а м и у г л у м е ж д у н и м и;

п о с т о р о н е и д в у м у г л а м.

Эти три случая равенства треугольников мы будем в дальнейшем обозначать ради краткости так:

по трем сторонам: ССС;

по двум сторонам и углу между ними: СУС;

по стороне и двум углам: УСУ.

Применения

14. Чтобы узнать расстояние до точки Aна другом берегу реки от точки В на этом берегу (черт. 5), отмеряют по прямой линии какую-нибудь линию ВС, затем при точке В строят угол, равный АВС, по другую сторону ВС, а при точке С – таким же образом угол, равный АСВ. Расстояние точки Dпересечения сторон обеих сторон углов до точки В равно искомому расстоянию АВ. Почему?

Р е ш е н и е. Треугольники ABCи ВDС равны по одной стороне (ВС) и двум углам (уг. DCB= уг. АСВ; уг. DBC= уг. ABC.) Следовательно, АВ = ВD, как стороны, лежащие в равных треугольниках против равных углов.

§ 23. Параллелограммы.

От треугольников перейдем к четырехугольникам, т. е. к фигурам, ограниченным 4-мя сторонами. Примером четырехугольника может служить к в а д р а т – такой четырехугольник, все стороны которого равны, а все углы-прямые (черт. 76). Другой вид четырехугольника, тоже часто встречающийся, – п р я м о у г о л ь н и к:

так называется всякий четырехугольник с 4-мя прямыми углами (черт. 77 и 78). Квадрат – тоже прямоугольник, но с равными сторонами.

Особенность прямоугольника (и квадрата) та, что обе пары его противоположных сторон п а р а л л е л ь н ы. В прямоугольнике ABCD, например (черт. 78), АВ параллельно DC, a ADпараллельно ВС. Это следует из того, что обе противолежащие стороны перпендикулярны к одной и той же прямой, а мы знаем, что два перпендикуляра к одной прямой параллельны между собою (§ 16).

Другое свойство каждого прямоугольника то, что противоположные его стороны равны между собою. В этом можно убедиться, если соединить противоположные вершины прямоугольника прямой линией, т. е. провести в нем диагональ. Соединив А с С (черт. 79) мы получим два треугольника АВС и ADC. Легко показать, что эти треугольники равны друг другу: сторона АС – общая, уг. 1 = уг. 2, потому что это перекрестные углы при параллельных АВ и CDпо такой же причине равны углы 3 и 4. По стороне же и двум углам треугольники ABCи ACDравны; следовательно, сторона АВ = стороне DС, и сторона AD= стороне ВС.

Такие четыреугольники, у которых, как у прямоугольников, противоположные стороны п а р а л л е л ь н ы, называются параллело граммами. На черт. 80 изображен пример параллелограмма: АВ параллельно DС, а ADпараллельно ВС.Черт.80

Прямоугольник – один из параллелограммов, а именно такой, у которого все углы прямые. Легко убедиться, что каждый параллелограмм обладает следующими свойствами:

П р о т и в о п о л о ж н ы е у г л ы п а р а л л ел о г р а м м а р а в н ы; п р о т и в о п о л о ж н ы е с т о р о н ы

п а р а л л е л о г р а м м а р а в н ы.

Чтобы убедиться в этом, проведем в параллелограмме ABCD(черт. 81) прямую ВD (диагональ) и сравним треугольники ABDи ВDС. Эти треугольники равны (случай УСУ): BD– общая сторона; уг. 1 = уг. 2, уг. 3 = уг. 4 (почему?). Отсюда вытекают перечисленные раньше свойства.

Параллелограмм с четырьмя равными сторонами называется р о м б о м.

Повторительные вопросы

Какая фигура называется квадратом? Прямоугольником? – Что называется диагональю? – Какая фигура называется параллелограммом? Ромбом? – Укажите свойства углов и сторон всякого параллелограмма. – Какой прямоугольник называется квадратом? – Какой параллелограмм называется прямоугольником? – В чем сходство и различие между квадратом и ромбом.

Применения

15. Квадрат чертят так: отложив одну сторону проводят к ней на концах перпендикуляры, откладывают на них такие же длины и соединяют концы прямой линией (черт. 82). Как убедиться, что четвертая сторона, начерченного четырехугольника равна трем остальным и что все углы его прямые?

Р е ш е н и е. Если построение велось так, что к стороне АВ в точках А и В были проведены перпендикуляры, на которых отложены: АС = АВ и DВ = AB, то остается доказать, что углы С и Dпрямые и что CDравно АВ. Для этого проведем (черт. 83) диагональ AD. Уг. CAD= ADB, как соответственные (при каких параллельных?); АС = DB, а потому треугольники CADи BADравны (по признаку СУС). Отсюда выводим, что CD= ABи уг. С = прямому углу В. Как доказать, что четвертый угол CDBтоже прямой?

16. Как начертить прямоугольник? Почему начерченная фигура может быть названа прямоугольником? (Показать, что все углы начерченной фигуры прямые).

Р е ш е н и е сходно с решением предыдущей задачи.

17. Докажите, что обе диагонали прямоугольника равны.

Р е ш е н и е (черт. 84) вытекает из равенства треугольников АВС и АВD (по признаку СУС).

18. Докажите, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.

Р е ш е н и е. Сравнивая (черт. 85) треугольники АВО и DСО, убеждаемся, что они равны (по признаку УСУ). Отсюда АО = ОС, 0В = ОD.

19. Длина общего перпендикуляра между двумя параллельными прямыми называется р а с с т о я н и е м между ними. Докажите, что расстояние между параллельными всюду одинаково.

У к а з а н и е: Какую фигуру образуют параллельные линии с двумя перпендикулярами между ними?