§ 90. Шар. Его объем и поверхность.

Шаром называется тело, которое можно представить себе образовавшимся от вращения полукруга около его диаметра (черт. 241). Все точки поверхности шара одинаково удалены от одной точки, называемой ц е н т р о м шара. Прямая, соединяющая центр шара с какой-нибудь точкой его поверхности, называется радиусом шара. Всякая прямая, соединяющая две точки его поверхности и проходящая через центр, называется д и а м е т р о м шара. Чтобы установить правило вычисления объема шара вообразим, что около полушара (черт. 242) описан цилиндр ABCD. Кроме того, вообразим себе конус, вершина которого в центре шара, а основание – совпадает с верхним основанием цилиндра.

Проведем теперь какую-нибудь плоскость, пересекающую все три тела параллельно основаниям цилиндра; эта плоскость MN(черт. 243) рассечет каждое из трех тел по кругу. Радиус круга, по которому рассечется цилиндр, есть PZ, полушар – PS, а конус – PK. Проведя радиус OSшара, имеем по теореме Пифагора [OS]2= [OP]2+ [PS]2.

Обозначим радиус основания цилиндра через R(он равен радиусу шара); радиус сечения полушара PSчерез h, радиус сечения конуса – через k. Тогда OS= OR= R; OP= PK= k(потому что противолежащие углы = 45°); PS= h. Написанное выше представим в виде

R2= k2+ h2.

Умножив все члены равенства на, имеем

R2= k2+ h2.

Равенство это означает, что площадь сечения нашего цилиндра [R2] равна площади сечения конуса [k2], сложенной с площадью сечения полушара [h2], лежащих в той же плоскости. Это справедливо для любой плоскости, пересекающей наши три тела параллельно основаниям цилиндра.

Представим себе теперь, что мы провели чрезвычайно много таких плоскостей в незначительном расстоянии Н друг от друга. Назовем эти плоскости номерами: № 1, № 2, № 3 и т. д. Они разрежут наши три тела на множество весьма тонких слоев, которые можно принять за цилиндры с высотою H. Для плоскости № 1, № 2, № 3 и т. д. мы будем иметь следующие объемы лежащих на них слоев:

№ 1. . . . . ?R2H = ?k12H + ?h12H

№ 2. . . . . ?R2H = ?k22H + ?h22H

№ 3. . . . . ?R2H = ?k32H + ?h32H

№ 4. . . . . . . . . . . . . . .

Сложив эти равенства почленно, мы получим в сумме первого столбца объем цилиндра Vц; в сумме второго столбца – все слои конуса,[13] т. е. его объем Vк, а в сумме третьего столбца – все слои полушара, т. е. его объем Vпш. Короче говоря, мы устанавливаем, что Vц = Vк + Vпш.

Так как объем цилиндра vц= ?R2? R= ?R3, а объем конуса 1/3?R2? R = 1/3?R3, то полученное сейчас равенство можно представить в виде ?R3= 1/3?R3+ Vпш, откуда объем полушара V = ?R3– 1/3?R3 =2/3?R3, а объем полного шара V = 4/3?R3.

Если бы мы пожелали выразить объем шара через диаметр, следовало бы только в этой формуле заменить R через d/2, где d – диаметр. Получим V = 4/3? d3/8= 1/6?d3

Зная формулу для вычисления объема шара, можно вывести правило вычисления его поверхности.

Для этого вообразим, что шар составлен из большого числа весьма узких пирамид, сходящихся вершинами в центре шара.

Объем одной такой пирамиды равен 1/3 площади ее основания, умноженной на ее высоту. Так как эти пирамиды чрезвычайно узки (мы можем представить их себе сколь угодно узкими), то за площадь Sих основания можно принять соответствующий участок а поверхности шара, а за высоту – радиус шара R. Тогда объемы наших пирамид выразятся последовательно через

Сложив объемы всех этих пирамид и вынеси за скобку 1/3 R, получим, что объем V шара равен

v= 1/3R [a1 + a2 + a3 + a4 + и т. д.].

Но то, что в скобках, есть сумма всех участков шаровой поверхности, т. е. полная поверхность Sшара. Значит, v = 1/3RS.

Мы узнали, следовательно, что

о б ъ е м ш а р а р а в е н п р о и з в е д е н и ю т р е т и е г о р а д и у с а н а п о в е р х н о с т ь.

Отсюда выводим, что поверхность шара

S = V:1/3R = 3V/R

А так как мы уже узнали раньше, что v = 4/3?R3, то поверхность шара S = 3 ? 4/3?R3: 4?R2

Другими словами: п о в е р х н о с т ь ш а р а р а в н а у ч е т в е р е н н о й п л о щ а д и к р у г а т о г о ж е р а д и у с а.

Повторительные вопросы

Какое тело называется шаром? – Что называется центром шара, радиусом, диаметром? – Как вычислить поверхность и объем шара, если известен его радиус? – Если известен его диаметр? – Как высказать эти соотношения словесно?

Применения

123. Сколько весит оболочка воздушного шара диаметром 15 метров? Кв. м. оболочки весит 300 граммов.

Р е ш е н и е. Поверхность этого шара = 4 ? 1/4 ? ? ? 152 = 710 кв. м, а следрвательно, вес 210 кг.

124. Сколько свинцовых дробинок в 3 мм диаметром идет на 1 кг?

Р е ш е н и е. 1 кг свинца занимает объем 1000/11,3= 88,5 куб. см. Объем одной дробинки = 1/6 ? ? ? 0,33= 0,014 куб. см. Следовательно, на 1 кг идет 88,5/0,014 = 6300 дробинок указанного диаметра.

125. Диаметр Марса вдвое меньше земного. Во сколько раз поверхность и этой планеты меньше, чем Земли?

Р е ш е н и е. Поверхности шаров относятся как квадраты диаметров, а объемы, – как кубы диаметров. Поэтому поверхность Марса меньше земной в 4 раза, а объем меньше земного в 8 раз.

126. «При обыкновенном дожде вес капель не превышает 0,065 грамма. Визнер на острове Яве во время сильнейшего дождя определил средний вес капель в 0,16 грамма» (К л о с со в с к и й, «Основы метеорологии»). – Определить соответствующие этим данным поперечники дождевых капель, считая их форму шарообразною.

Р е ш е н и е. 0,065 грамма воды занимают 0,065 куб. сантиметра или 65 куб. миллиметров. Диаметр шара такого объема получаем из уравнения

1/6 ? ? ? x3=65, где x – диаметр в миллиметрах. Отсюда

Итак, крупная дождевая капля имеет в ширину полсантиметра. Диаметр самых больших измеренных капель (вес 0,16 грамма) равен 6,7 миллиметра.

127. Яблоко при печении сморщивается. На что это указывает?

Р е ш е н и е. На то, что объем яблока при печении уменьшается, кожура же сохраняет прежние размеры. Сделаем примерный расчет: вычислим какой избыток кожуры получается, когда яблоко диаметром 8 см уменьшается (вследствие потери воды при нагревании) на 4 миллиметра по диаметру. 4? ? 402– 4? ? 382= 4? [402– 382] = 4? ? 78 ? 2 = 2000 кв. мм, или 20 кв. см. Следовательно, общая поверхность всех морщин печеного яблока, при указанных размерах, равна 20 кв. см.

§ 91. Поверхность подобных тел.

Мы знаем (из § 70), что площади подобных фигур относятся, как квадраты их линейных размеров. То же правило верно и для поверхностей подобных тел (т. е. таких тел, которые при одинаковой форме имеют различные размеры). Это значит, что

п о в е р х н о с т и п о д о б н ы х т е л о т н ос я т с я, к а к к в а д р а т ы и х л и н е й н ы х р а з м е р о в. Если у нас два подобных конуса (имеющие равные углы при вершине), и высота первого в 3 раза больше высоты другого, то поверхность первого в 9 раз больше поверхности другого.

Применения

128. В «Путешествии Гулливера» рассказывается о лилипутах, рост которых в 12 раз меньше нормального. Если на костюм человека нормального роста идет 4 кв. метра материала, то сколько материала идет на костюм лилипута?

Р е ш е н и е. В 122, т. е. в 144 раза меньше.

40 000 кв. см: 144 = 280 кв. см.

129. Один человек на 1/4 ниже другого. Каково отношение поверхностей их тел, считая что оба тела геометрически подобны?

Р е ш е н и е. Поверхность человека меньшего роста состоляет

поверхности более высокого.