§ 84. Конусность. Тангенс и котангенс острого угла.

О круглых изделиях, суживающихся по прямой линии к одному концу, говорят, что они имеют «конусность». Конусность измеряется величиною уменьшения радиуса круга поперечного сечения на каждый сантиметр длины изделий. Если, например, радиус круга поперечного сечения изделия уменьшается с каждым сантиметром на 0,25 мм, то конусность изделия равна 0,25 мм на 1 см.

Легко рассчитать, что если длина изделия – 40 см, то от одного конца к другому оно суживается на 2 0,25 мм 40 = = 20 мм = 2 см. Наоборот, если круглое изделие в 50 см длины имеет на концах разность толщины (диаметров) 30 мм, то на каждый сантиметр длины разность диаметров составляет 30 мм: 50 = 0,6 мм, а разность радиусов – 0,3 мм; значит «конусность» этого изделия 0,3 мм на 1 см (или 0,3: 10 = 0,03).

Итак, конусность измеряется отношением катетов (черт. 227) ВС : АС в прямоугольном треугольнике АВС. Это отношение определяет наклон прямой АВ к LCи, следовательно, может служить мерою угла ВАС.

Мы видим из этого примера, что кроме уже известного нам градусного способа измерения острых углов, можно пользоваться еще и другим способом. Способ этот состоит в том, что за меру острого угла принимают отношение противолежащего ему катета к прилежащему катету в том треугольнике, который отсекается от этого угла перпендикуляром к одной из сторон. Например, угол А (черт. 228) можно измерять отношением ВС : АВ или равным ему отношением ED: AE (почему эти отношения равны?), или также равным им отношением MN: AN (почему это отношение равно предыдущим?). Каждое из этих равных отношений называется т а н г е н с о м угла A и обозначается через tang или tg.

Легко понять, что каждому острому углу отвечает определенный тангенс. Найти значение тангенса для каждого угла возможно помощью чертежа, измерив длину соответствующих линий и вычислив их отношение. Таким путем можно составить таблицу тангенсов для всех углов от 1° до 10°. Способ этот прост, но не достаточно точен. Существуют способы (чересчур сложные, чтобы их рассматривать здесь) узнавать тангенсы с любою точностью посредством вычислений. Готовая таблица вычисленных таким путем тангенсов для всех острых углов от 0°до 90° приложена в конце книги (вместе с некоторыми другими величинами, о которых речь будет дальше).

Если станем изменять величину угла от 0° до 90° и следить, как изменяется при этом величина тангенса, то заметим следующее. Когда угол близок к 0°, то и тангенс близок к нулю; поэтому условно пишут, что tg0° = 0. С увеличением угла tgего быстро возрастает, а при 90° перпендикуляр к одной стороне угла вовсе не встречает другой: точка пересечения, как говорят, «удаляется в бесконечность». Поэтому считают, что tg90 ° = бесконечности.

Для некоторых углов можно вычислить тангенс весьма несложным расчетом. Например, тангенс угла в 45° равен (черт. 229) ВС : АВ = 1 (почему?). Тангенс угла в 30° (черт. 230) равен ВС: АВ; но в треугольнике АСВ

Вместо отношения противолежащего катета к прилежащему можно для измерения острых углов брать и обратное отношение прилежащего катета к противолежащему. Это отношение называется к о т а н г е н с о м угла и обозначается знаком cotg. Из черт. 228 имеем:

Вообще между тангенсом и котангенсом существует следующая зависимость:

Легко сообразить, что с увеличением угла тангенс его увеличивается, а котангенс – уменьшается.

Рассмотрим еще одну зависимость между величиною тангенса и котангенса острых углов. Из прямоугольного треугольника АВС (черт. 231) видим:

А так как сумма углов А и В равна 90° (эти углы, как принято говорить, «дополнительные»), то tg А= cotg (90 – A); cotg A = tg (90 – А).

Например:

tg30° = cotg60°; tg17° = cotg73° и т. п.

Выражая эту зависимость словесно, устанавливаем правило:

т а н г е н с о с т р о г о у г л а р а в е н к о т а н г е н с у д о п о л н и т е л ь н о г о у г л а.

На этом основании таблицу тангенсов и таблицу котангенсов углов можно свести в одну таблицу, устройство которой мы сейчас объясним.

§ 85. Таблица тангенсов и котангенсов.

Чтобы успешно применять на практике понятия тангенса и котангенса, необходимо уметь отыскивать в таблице тангенсы и котангенсы различных углов, а также и наоборот – подыскивать угол, если известен его тангенс или котангенс.

Пусть требуется найти в таблице tg24°. Против числа 24 левой колонки находим в графе «tg» (вверху) число 0,45; это и есть tg24° (на графы sin и cos пока не будем обращать внимания).

Так же просто отыскивать в таблице тангенсы всех углов от 1 с до 45°. Тангенсы углов от 45° до 89° находят несколько иначе. Например, tg57° ищем в графе «tg», направляясь снизу, и находим его против числа 57° правой колонки: 1,54 (в то же время 1,54 – это cotg33°, потому что 33 = 90° – 57°).

Сходным образом находим котангенсы и других углов, выражающихся целым числом градусов.

Чтобы найти tg угла, не выражающегося целым числом градусов, надо произвести маленькое дополнительное вычисление. Найдем, например, tg38°40’. Отыскиваем tg38° и tg39°.

tg38° = 0,78, tg39° = 0,81

Разница в 1° или 60’, обусловила, мы видим, увеличение тангенса на 0,03. Для небольшой разницы в углах можно считать. что разность тангенсов (и котангенсов) пропорциональна разности углов, т. е., что

Откуда:

tg38°40? – 0,78 = 0,03 ?2/3= 0,02

tg38°40? = 0,78 – 0,03 = 0,80.

Итак, мы отыскали tg нужного нам угла, хотя прямо в таблице он не помещен.

Таким же образом находим:

tg 76°24? = 4,01 + 0,32 ?24/60 = 4,14

cotg[11]21°14? = 2,61 – 0,13 ?14/60 = 2,58

Обратно: нахождение угла, которого tg или cotg известен в случае, когда данная величина tgили cotgимеется в таблице, – не требует пояснений. Например, угол, tg которого 0,27, есть 15°; угол, cotgкоторого 0,78, есть 52° и т. п. Если же данного tg или cotg в таблице нет, требуется дополнительное вычисление. Пусть, например, мы имеем угол, cotg которого =2, 19. Имеющийся в таблице cotg ближайшего меньшего[12] угла есть 2,25, отличающийся от данного на 0,06. Разность же между этим углом и ближайшим большим, имеющимся в таблице (2,14), равна 11. Подобно предыдущему, составляем пропорцию

И, следовательно, неизв. угол = 66°33’ (с округлением 66°30’).

Таким же образом найдем, что угол, тангенс которого 0,86, равен 40°+ 60 ?2/3= 40°40’ и т. п.

(В виду малой точности таблиц, числа минут надо округлять до целых десятков).

Применения

Рассмотрим теперь несколько задач, при решении которых применяется таблица тангенсов и котангенсов (такие вычисления называются т р и г о н о м е т р и ч е с к и м и).

104. Найти величину острых углов треугольника, катеты которого 16 см и 23 см.

Р е ш е н и е. Тангенс меньшего из искомых углов (черт. 231)

откуда (по таблице) искомый угол x = 34°20’.

105. Телеграфный столб 8 м высоты отбрасывает тень длиною 13,5 м. Под каким углом лучи солнца встречают землю?

Р е ш е н и е сводится, очевидно, к нахождению угла, tg которого = 8/13,5 =0,52

106. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника, имеет длину 62 см и делит противолежащую сторону на отрезки, длина которых 38 см и 29 см. Найти углы треугольника.

Р е ш е н и е. Сначала находим (черт. 232) величину угла A, tg которого 16/29; затем величину угла C, tg которого 16/38

(как найти третий угол?).

107. Острый угол прямоугольного треугольника 48°, прилежащий катет – 83 см. Найти другой катет.

Р е ш е н и е (черт. 231). Если угол А – 48°, а АВ – 83 см, то

BC/AB = BC/83 = tgA= tg48° = 1,11,

откуда

ВС = 83 ? 1,11 = 92.

108. Найти сторону правильного 12-угольника, описанного около круга, радиус которого 80 см.

Р е ш е н и е (черт. 233). Если сторона 12-угольника АВ, то, соединив концы ее с центром О, получаем равнобедренный треугольник, угол при вершине которого 360°/12=30°.

Проведя OD перпендикулярно к AB, имеем прямоугольный треугольник AOD, в котором катет AD = ?АВ (почему?).

Далее:

AD/OD=AD/80 = tg15°=0,26

откуда:

AD= 0,26 80 = 21,

АВ = 2AD= 42.

Итак, искомая сторона 12-угольника 42 см.