§ 80. Вписанный равносторонний треугольник.

Чтобы вписать в круг равносторонний треугольник, можно воспользоваться способом построения правильного шестиугольника: разделив окружность на 6 равных частей соединяют точки: деления через одну.

Длину стороны вписанного, равностороннего треугольника, считая радиус круга известным (R), находят, пользуясь теоремой Пифагора. Если (черт. 220) А, В, С,

Dесть четыре вершины правильного вписанного шестиугольника, то AD= а6 = R, BD= а = стороне вписанного равностороннего треугольника; AD= диаметру круга=2Л. Из прямоугольного треугольника ABD(докажите, что уг. В – прямой) имеем

[AD]2= [АВ]2+[BD]2, т. е. [2R]2=R2+ a23,

откуда

§ 81. Круг, вписанный в правильный многоугольник.

Мы знаем, что во всякий треугольник можно вписать круг. Покажем теперь, что можно вписать круг также во всякий

п р а в и л ь н ы й м н о г о у г о л ь н и к.

Пусть имеется правильный многоугольник, часть которого ABCD изображена на черт. 221. Проведем равно-делящие двух соседних углов, напр., В и С, и точку О их пересечения соединим со всеми вершинами многоугольника. Так как уг. С многоугольника равен углу В, (почему?), то равны и их половины: уг. 2 = уг. 3, а следовательно, и сторона ОС = стороне ОВ (почему?). Треугольники OCDи ОВС имеют по две равные стороны [ОС = ОВ, АВ = ВС] и равные углы [уг. 3 = уг. 4]; значит, они равны [СУС], и ОВ = ОС, а уг. 3 = уг. 5. Таким же образом убеждаемся (выполните это), что треугольник ODE– треугольнику OCDи т. д. В результате узнаем, что все треугольники, на которые разбит указанным образом наш многоугольник, равны между собою, а следовательно, равны и их высоты, проведенные из точки О. Так как точка О одинаково удалена от всех сторон многоугольника, то она и есть центр вписанного круга. Подобные рассуждения можно приложить ко всякому правильному многоугольнику, а следовательно, внутри всякого правильного многоугольника можно найти точку, которая служит центром вписанного круга. Другими словами, -

в о в с я к и й п р а в и л ь н ы й м н о г о у г о л ь н и к м о ж н о в п и с а т ь к р у г. Центр круга, вписанного в многоугольник, называется ц е н т р о м э т о г о м н о г о у г о л ь н и к а, а радиус вписанного круга —

а п о ф е м о й м н о г о у г о л ь н и к а.